Archive: 2023/11

2023
编程Python

heapq的用法

摘要: Python 堆操作 【对算法，数学，计算机感兴趣的同学，欢迎关注我哈，阅读更多原创文章】我的网站：潮汐朝夕的生活实验室我的公众号：算法题刷刷我的知乎：潮汐朝夕我的github：FennelDumplings我的leetcode：FennelDumplings 本文介绍 Python 中与堆相关的组件：heapq 模块。首先介绍建堆、插入、查询极值、删除极值、合并有序序列等操作。之

算法leetcode

力扣1670-设计前中后队列

摘要: 基于链表的设计 【对算法，数学，计算机感兴趣的同学，欢迎关注我哈，阅读更多原创文章】我的网站：潮汐朝夕的生活实验室我的公众号：算法题刷刷我的知乎：潮汐朝夕我的github：FennelDumplings我的leetcode：FennelDumplings 本文看一个基础数据结构的设计问题。难点在于增删的时候如何维护指向链表中间节点的指针。细节处理非常繁琐，不容易过。 题目请你设计一

算法图算法

给定树的遍历序-重建一棵可能的树

摘要: BFS 序和 DFS 序结合的经典问题 【对算法，数学，计算机感兴趣的同学，欢迎关注我哈，阅读更多原创文章】我的网站：潮汐朝夕的生活实验室我的公众号：算法题刷刷我的知乎：潮汐朝夕我的github：FennelDumplings我的leetcode：FennelDumplings 在文章 遍历序的概念与性质 中，我们了解了树的各种遍历序。本文我们看一个直接的问题，如何从树的遍历序，构

算法基础算法

中心扩散法

摘要: 枚举中点，看两边能扩散多长 【对算法，数学，计算机感兴趣的同学，欢迎关注我哈，阅读更多原创文章】我的网站：潮汐朝夕的生活实验室我的公众号：算法题刷刷我的知乎：潮汐朝夕我的github：FennelDumplings我的leetcode：FennelDumplings 本文通过最长回文子串问题，看一下数组上关于子数组的问题的两种不同方向的思考方式，一种是首先确定子数组的两端 l, r

算法字符串

Manacher算法：基于对称性的优化，信息论直觉

摘要: 最长回文子串的 Manacher 算法 【对算法，数学，计算机感兴趣的同学，欢迎关注我哈，阅读更多原创文章】我的网站：潮汐朝夕的生活实验室我的公众号：算法题刷刷我的知乎：潮汐朝夕我的github：FennelDumplings我的leetcode：FennelDumplings 本文我们看一个解决最长回文子串的专门算法：Manacher 算法。Glenn K. Manacher在1

算法数据结构

在数据结构中维护前缀和：区间(矩形/路径)和等于(大于)目标值

摘要: 区间和等于目标值的各种变种问题 【对算法，数学，计算机感兴趣的同学，欢迎关注我哈，阅读更多原创文章】我的网站：潮汐朝夕的生活实验室我的公众号：算法题刷刷我的知乎：潮汐朝夕我的github：FennelDumplings我的leetcode：FennelDumplings 在文章 【模板】前缀和与差分 中我们了解了一维和二维前缀和的算法原理和代码模板。在实际问题中我们经常要将前缀和维

算法大数据算法

RANSAC算法：应对大比例异常值

摘要: RANSAC 算法思想 【对算法，数学，计算机感兴趣的同学，欢迎关注我哈，阅读更多原创文章】我的网站：潮汐朝夕的生活实验室我的公众号：算法题刷刷我的知乎：潮汐朝夕我的github：FennelDumplings我的leetcode：FennelDumplings RANSAC 算法是一种随机算法，它用迭代的方式从一组含有离群点的一组观测数据中估计数学模型的参数。本文首先简要介绍这种

算法字符串

设计内存文件系统：在Trie中用TreeMap维护子节点

摘要: TreeMap 维护子节点的 Trie 【对算法，数学，计算机感兴趣的同学，欢迎关注我哈，阅读更多原创文章】我的网站：潮汐朝夕的生活实验室我的公众号：算法题刷刷我的知乎：潮汐朝夕我的github：FennelDumplings我的leetcode：FennelDumplings 在 Trie 中，一般用数组或哈希表维护子节点，本文我们看一个用TreeMap维护子节点的例子。 题

算法字符串

Trie单串多模式匹配

摘要: 单纯多模式匹配 【对算法，数学，计算机感兴趣的同学，欢迎关注我哈，阅读更多原创文章】我的网站：潮汐朝夕的生活实验室我的公众号：算法题刷刷我的知乎：潮汐朝夕我的github：FennelDumplings我的leetcode：FennelDumplings 本文看一个 Trie 可以完美解决的字符串匹配需求，单串多模式匹配，且模式中的字符没有限制，也就是单串中的每个字符都有可能是

算法动态规划

打家劫舍：不相邻子序列最大和问题

摘要: 不相邻的子序列最大 【对算法，数学，计算机感兴趣的同学，欢迎关注我哈，阅读更多原创文章】我的网站：潮汐朝夕的生活实验室我的公众号：算法题刷刷我的知乎：潮汐朝夕我的github：FennelDumplings我的leetcode：FennelDumplings 在文章 最大子数组和的三种解法 中我们解决了最大组数组和的问题，以该问题为基础问题有很多变种，在文章 目标带绝对值的处理：最

算法leetcode

力扣2216-美化数组的最少删除数

摘要: 定式化的动态规划、技巧性的贪心 【对算法，数学，计算机感兴趣的同学，欢迎关注我哈，阅读更多原创文章】我的网站：潮汐朝夕的生活实验室我的公众号：算法题刷刷我的知乎：潮汐朝夕我的github：FennelDumplings我的leetcode：FennelDumplings 本文的题目有动态规划和谈心两种解法。其中动态规划的思路比较定式化，更好想一些。贪心需要一些灵感和技巧，并且涉

数图论

图的自同构群与对称性、可迁图

摘要: 图的群表示 【对算法，数学，计算机感兴趣的同学，欢迎关注我哈，阅读更多原创文章】我的网站：潮汐朝夕的生活实验室我的公众号：算法题刷刷我的知乎：潮汐朝夕我的github：FennelDumplings我的leetcode：FennelDumplings 图的同构点同构定义：$D = (V(D), E(D), \psi_{D})$ 和 $H = (V(H), E(H), \psi_{H

数图论

n维超立方体

摘要: n维超立方体的基础性质 【对数据分析、人工智能、金融科技、风控服务感兴趣的同学，欢迎关注我哈，阅读更多原创文章】我的网站：潮汐朝夕的生活实验室我的公众号：潮汐朝夕我的知乎：潮汐朝夕我的github：FennelDumplings我的leetcode：FennelDumplings n 维超立方体可以简单理解为 n 维空间中边长为 1 的正方体。它有很多非常好的性质，因此是大规模互联

数图论

k部图与图兰定理

摘要: k部图的应用 【对数据分析、人工智能、金融科技、风控服务感兴趣的同学，欢迎关注我哈，阅读更多原创文章】我的网站：潮汐朝夕的生活实验室我的公众号：潮汐朝夕我的知乎：潮汐朝夕我的github：FennelDumplings我的leetcode：FennelDumplings 二部图是应用非常广泛的一类图。相关的理论研究的非常多，很多业务场景可以抽象为二部图上的匹配问题。而 k 部图在定

算法动态规划

调整状态定义的方向：简化实现过程

摘要: 状态定义的方向的影响 【对算法，数学，计算机感兴趣的同学，欢迎关注我哈，阅读更多原创文章】我的网站：潮汐朝夕的生活实验室我的公众号：算法题刷刷我的知乎：潮汐朝夕我的github：FennelDumplings我的leetcode：FennelDumplings 在文章 状态计算的方向：从已知状态计算当前状态；从当前状态更新后续状态 中，我们知道当阶段划分与状态定义完成后，还可以转换

算法数据结构

二维偏序问题：扫描线+树状数组

摘要: 一个维度用扫描线（排序）保证有序；一个维度用树状数组保证有序；维护权值的最值 【对算法，数学，计算机感兴趣的同学，欢迎关注我哈，阅读更多原创文章】我的网站：潮汐朝夕的生活实验室我的公众号：算法题刷刷我的知乎：潮汐朝夕我的github：FennelDumplings我的leetcode：FennelDumplings 二维偏序问题形式化定义如果形式化地定义，二维偏序问题的描述如下。

算法动态规划

阶段不足以表示可推导的状态：附加信息作为状态维度

摘要: 找到阶段划分后，有时发现需要增加附加信息才能得到可以推导的状态表示 【对算法，数学，计算机感兴趣的同学，欢迎关注我哈，阅读更多原创文章】我的网站：潮汐朝夕的生活实验室我的公众号：算法题刷刷我的知乎：潮汐朝夕我的github：FennelDumplings我的leetcode：FennelDumplings 对于一个动态规划的问题。最重要的是找到状态表示和阶段划分，其中阶段划分相对

算法动态规划

理解高维状态空间线性DP：已处理部分在状态空间中的轮廓

摘要: 状态计算的方向 【对算法，数学，计算机感兴趣的同学，欢迎关注我哈，阅读更多原创文章】我的网站：潮汐朝夕的生活实验室我的公众号：算法题刷刷我的知乎：潮汐朝夕我的github：FennelDumplings我的leetcode：FennelDumplings 本文我们通过照相排列问题 (k 个串上的线性 DP)，来理解一个动态规划中的一个抽象的概念：已处理部分在高维状态空间中的轮廓。可

算法动态规划

状态计算的方向：从已知状态计算当前状态；从当前状态更新后续状态

摘要: 状态计算的方向的影响 【对算法，数学，计算机感兴趣的同学，欢迎关注我哈，阅读更多原创文章】我的网站：潮汐朝夕的生活实验室我的公众号：算法题刷刷我的知乎：潮汐朝夕我的github：FennelDumplings我的leetcode：FennelDumplings 在动态规划中，当状态表示和阶段划分给定，状态转移方程可以有两个方向的写法可以选，分别对应不同的考虑方式，一个是考虑从先前阶

算法动态规划

带权DAG上的最长路径：拓扑序DP

摘要: 拓扑序DP解决带权DAG上的最长路径问题 【对算法，数学，计算机感兴趣的同学，欢迎关注我哈，阅读更多原创文章】我的网站：潮汐朝夕的生活实验室我的公众号：算法题刷刷我的知乎：潮汐朝夕我的github：FennelDumplings我的leetcode：FennelDumplings 在文章 DAG上的DP (拓扑序DP)：无权 DAG 的最长路径 中我们介绍了 DAG 上的拓扑序 D

算法动态规划

不同路径系列问题：计数DP，以初等计数原理划分阶段和子问题

摘要: 状态的各决策间满足加法原理，决策划分的子状态间满足乘法原理 【对算法，数学，计算机感兴趣的同学，欢迎关注我哈，阅读更多原创文章】我的网站：潮汐朝夕的生活实验室我的公众号：算法题刷刷我的知乎：潮汐朝夕我的github：FennelDumplings我的leetcode：FennelDumplings 动态规划中的计数类问题，主要强调“不重不漏”。因此如果用动态规划解决的话，子结构的划

算法动态规划

状态=阶段+附加信息；排除高维状态空间的冗余维度

摘要: 状态=阶段+附加信息，其中有冗余信息的优化方法 【对算法，数学，计算机感兴趣的同学，欢迎关注我哈，阅读更多原创文章】我的网站：潮汐朝夕的生活实验室我的公众号：算法题刷刷我的知乎：潮汐朝夕我的github：FennelDumplings我的leetcode：FennelDumplings 高维空间动态规划仅把 DP 的阶段要素放到 DP 状态中有时不足以找到最优子结构，也就是不足

算法动态规划

优化状态表示，降低状态转移的复杂性；LCIS问题

摘要: 优化状态表示 【对算法，数学，计算机感兴趣的同学，欢迎关注我哈，阅读更多原创文章】我的网站：潮汐朝夕的生活实验室我的公众号：算法题刷刷我的知乎：潮汐朝夕我的github：FennelDumplings我的leetcode：FennelDumplings 最长上升子序列(LIS)和最长公共子序列(LCS)是单串和双串场景下的动态规划的状态设计思路。 将这两个合起来，形成最长公

算法动态规划

最优决策序列个数

摘要: 动态规划解决优化问题，求最优决策方案数 【对算法，数学，计算机感兴趣的同学，欢迎关注我哈，阅读更多原创文章】我的网站：潮汐朝夕的生活实验室我的公众号：算法题刷刷我的知乎：潮汐朝夕我的github：FennelDumplings我的leetcode：FennelDumplings 在动态规划的问题中，有时会遇到求某个具体的最优决策序列的问题，在 求具体的最优决策序列 中已经解决。 本

算法动态规划

数字三角形与数字矩形：两类最经典的棋盘DP状态设计

摘要: 数字三角形问题 【对算法，数学，计算机感兴趣的同学，欢迎关注我哈，阅读更多原创文章】我的网站：潮汐朝夕的生活实验室我的公众号：算法题刷刷我的知乎：潮汐朝夕我的github：FennelDumplings我的leetcode：FennelDumplings 本文我们通过数字三角形和数字矩形这两个简单问题来看一下棋盘 DP 的两类基本设计思路。 在棋盘 DP 的问题中，比较常见的有两种

算法动态规划

求具体的最优决策序列

摘要: 动态规划解决优化问题，求具体决策序列 【对算法，数学，计算机感兴趣的同学，欢迎关注我哈，阅读更多原创文章】我的网站：潮汐朝夕的生活实验室我的公众号：算法题刷刷我的知乎：潮汐朝夕我的github：FennelDumplings我的leetcode：FennelDumplings 在动态规划解决的优化问题中，有时需要给出具体的最优方案。最直接的做法是额外使用一些与 DP 状态大小相同的

算法疑难杂症

二维的滑动窗口最大值

摘要: 滑动矩形窗口最大值 【对算法，数学，计算机感兴趣的同学，欢迎关注我哈，阅读更多原创文章】我的网站：潮汐朝夕的生活实验室我的公众号：算法题刷刷我的知乎：潮汐朝夕我的github：FennelDumplings我的leetcode：FennelDumplings 滑动窗口最大值问题是单调队列的最典型使用场景，单调队列也是定长滑动窗口问题的最优解法，时间复杂度为 $O(N)$，参考文章

算法数据结构

离线分治：基于时间 (CDQ分治)

摘要: 基于时间的离线分治，逆序对个数 【对算法，数学，计算机感兴趣的同学，欢迎关注我哈，阅读更多原创文章】我的网站：潮汐朝夕的生活实验室我的公众号：算法题刷刷我的知乎：潮汐朝夕我的github：FennelDumplings我的leetcode：FennelDumplings 很多数据结构的问题可以抽象为“维护一系列数据，并对一系列操作一次做出响应”，这些操作可以分为两种： 查询型操作

算法动态规划

树状数组优化DP：优化问题

摘要: 权值树状数组优化DP 【对算法，数学，计算机感兴趣的同学，欢迎关注我哈，阅读更多原创文章】我的网站：潮汐朝夕的生活实验室我的公众号：算法题刷刷我的知乎：潮汐朝夕我的github：FennelDumplings我的leetcode：FennelDumplings 在 最长上升子序列LIS 我们通过动态规划解决了最长上升子序列问题，其状态转移方程如下： dp[i] = 1 + \m

算法数据结构

归并树：区间大于x的元素个数

摘要: 归并树，区间大于 x 的元素个数 【对算法，数学，计算机感兴趣的同学，欢迎关注我哈，阅读更多原创文章】我的网站：潮汐朝夕的生活实验室我的公众号：算法题刷刷我的知乎：潮汐朝夕我的github：FennelDumplings我的leetcode：FennelDumplings 本文我们从 315. 计算右侧小于当前元素的个数 出发，引出一个维护区间大于 x 的元素个数的数据结构：归并树

算法数据结构

划分树：区间第k大

摘要: 划分树，区间第 k 大数 【对算法，数学，计算机感兴趣的同学，欢迎关注我哈，阅读更多原创文章】我的网站：潮汐朝夕的生活实验室我的公众号：算法题刷刷我的知乎：潮汐朝夕我的github：FennelDumplings我的leetcode：FennelDumplings 本文我们从 力扣315-索引数组,归并树 出发，引出一个维护区间第 k 大数的数据结构：划分树。 对于区间 $[i,

算法数据结构

分块查找表：区间修改，区间最值查询

摘要: 分块查找表，原理与实现，解决带修改的区间最值查询问题 【对算法，数学，计算机感兴趣的同学，欢迎关注我哈，阅读更多原创文章】我的网站：潮汐朝夕的生活实验室我的公众号：算法题刷刷我的知乎：潮汐朝夕我的github：FennelDumplings我的leetcode：FennelDumplings 分块查找表的主要思路是对于数据数组 nums[0..n-1], 共 n 个元素，每 $\s

算法数据结构

Range模块：维护区间的增删改查

摘要: 基于平衡树的Range模块，维护区间的增删改查 【对算法，数学，计算机感兴趣的同学，欢迎关注我哈，阅读更多原创文章】我的网站：潮汐朝夕的生活实验室我的公众号：算法题刷刷我的知乎：潮汐朝夕我的github：FennelDumplings我的leetcode：FennelDumplings 本文我们通过力扣 715 来看一下可以动态维护区间的增删改查的组件的功能与实现，本题的代码可以作

数组合数学

鸽巢原理及其加强形式

摘要: 鸽巢原理 【对数据分析、人工智能、金融科技、风控服务感兴趣的同学，欢迎关注我哈，阅读更多原创文章】我的网站：潮汐朝夕的生活实验室我的公众号：潮汐朝夕我的知乎：潮汐朝夕我的github：FennelDumplings我的leetcode：FennelDumplings 鸽巢原理是组合数学中最古老的原理之一，也称为抽屉原理或Dirichlet原理。Dirichlet 在 1834 年提

数图论

伴随二部图、图论第一定理

摘要: 图论第一定理 【对数据分析、人工智能、金融科技、风控服务感兴趣的同学，欢迎关注我哈，阅读更多原创文章】我的网站：潮汐朝夕的生活实验室我的公众号：潮汐朝夕我的知乎：潮汐朝夕我的github：FennelDumplings我的leetcode：FennelDumplings 二部图是一类结构简单又非常重要的图。在文章 二分图判定定理与算法 中我们介绍过二部图判定定理及算法。 对于任意有

编程Python

bisect二分查找中key参数的用法

摘要: Python 二分查找 【对算法，数学，计算机感兴趣的同学，欢迎关注我哈，阅读更多原创文章】我的网站：潮汐朝夕的生活实验室我的公众号：算法题刷刷我的知乎：潮汐朝夕我的github：FennelDumplings我的leetcode：FennelDumplings 二分查找是程序中非常常见的需求。细节和变种比较多，比如整数二分和实数二分；区间二分和值域二分；有重复元素和无重复元素；包

数图论

图论简史

摘要: 图论发展史 【对数据分析、人工智能、金融科技、风控服务感兴趣的同学，欢迎关注我哈，阅读更多原创文章】我的网站：潮汐朝夕的生活实验室我的公众号：潮汐朝夕我的知乎：潮汐朝夕我的github：FennelDumplings我的leetcode：FennelDumplings 时间 人物 事件 1736 欧拉 七桥问题论文 1847 基尔霍夫 用树概念研究电网络方程组，

算法图算法

问题规约的艺术：无向基环树的直径

摘要: 基环树的概念与例子 【对算法，数学，计算机感兴趣的同学，欢迎关注我哈，阅读更多原创文章】我的网站：潮汐朝夕的生活实验室我的公众号：算法题刷刷我的知乎：潮汐朝夕我的github：FennelDumplings我的leetcode：FennelDumplings 对于无向图，N 个点的树有 N - 1 条边，在树上任意加一条边，会形成一个环，除了环之外，其余部分由若干子树构成。 这种

算法leetcode

【搜索难题】力扣2258-逃离火灾

摘要: 搜索题，思路简单，细节复杂 【对算法，数学，计算机感兴趣的同学，欢迎关注我哈，阅读更多原创文章】我的网站：潮汐朝夕的生活实验室我的公众号：算法题刷刷我的知乎：潮汐朝夕我的github：FennelDumplings我的leetcode：FennelDumplings 各位好，本文我们来看一个搜索题。思路比较清晰，不过细节很复杂。需要针对人和火搜索两次。第二次既可以 BFS 也可以

数代数

矩阵理论：线性代数复习

摘要: 矩阵理论复习 【对算法，数学，计算机感兴趣的同学，欢迎关注我哈，阅读更多原创文章】我的网站：潮汐朝夕的生活实验室我的公众号：算法题刷刷我的知乎：潮汐朝夕我的github：FennelDumplings我的leetcode：FennelDumplings $1 矩阵乘法与分块矩阵 数域 $F$ 上的 $m\times n$ 阶矩阵全体：$F^{m\times n}$ 全体 $

数概率

考研概率论与数理统计常见方法与公式

摘要: 考研概率论公式集锦 【对算法，数学，计算机感兴趣的同学，欢迎关注我哈，阅读更多原创文章】我的网站：潮汐朝夕的生活实验室我的公众号：算法题刷刷我的知乎：潮汐朝夕我的github：FennelDumplings我的leetcode：FennelDumplings 古典概型 密度函数 分布函数 $X$ 为连续型随机变量与分布函数 $F(x)$ 连续的关系 伯努利试验 正态分布与

数代数

多项式笔记

摘要: 多项式笔记 【对算法，数学，计算机感兴趣的同学，欢迎关注我哈，阅读更多原创文章】我的网站：潮汐朝夕的生活实验室我的公众号：算法题刷刷我的知乎：潮汐朝夕我的github：FennelDumplings我的leetcode：FennelDumplings 一元多项式及其运算 定义：一元多项式，$\mathrm{deg}f(x)$ 表示 $f(x)$ 的次数 $n$ 和、差、积

数代数

矩阵理论：线性空间与线性变换部分笔记

摘要: 研究生矩阵理论的笔记 【对算法，数学，计算机感兴趣的同学，欢迎关注我哈，阅读更多原创文章】我的网站：潮汐朝夕的生活实验室我的公众号：算法题刷刷我的知乎：潮汐朝夕我的github：FennelDumplings我的leetcode：FennelDumplings 研究生矩阵理论部分笔记，2016 年，共 97 页。 $1 线性空间与子空间 数域 $P$ 定义：非空集合 $

算法基础算法

二维转一维

摘要: 基于一维问题的解法，解决二维问题 【对算法，数学，计算机感兴趣的同学，欢迎关注我哈，阅读更多原创文章】我的网站：潮汐朝夕的生活实验室我的公众号：算法题刷刷我的知乎：潮汐朝夕我的github：FennelDumplings我的leetcode：FennelDumplings 一维数组上有一些常见的问题，应用了正确的算法后可以很好地解决。这些问题经常在二维矩阵上也有类似的问题。比如一维

数随机过程

随机过程部分笔记

摘要: 研究生随机过程部分笔记 【对算法，数学，计算机感兴趣的同学，欢迎关注我哈，阅读更多原创文章】我的网站：潮汐朝夕的生活实验室我的公众号：算法题刷刷我的知乎：潮汐朝夕我的github：FennelDumplings我的leetcode：FennelDumplings 研究生随机过程部分笔记，2016 年，共 84 页。 $1 概率论$1-1 概率空间 随机试验 $E$ 集合论