多项式笔记

摘要: 多项式笔记

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一元多项式及其运算

• 定义：一元多项式，$\mathrm{deg}f(x)$ 表示 $f(x)$ 的次数 $n$
• 和、差、积
• 交换律、结合律、分配律

• 乘法消去律

整除性理论

• 定理：多项式的带余除法
• 定义：整除、倍式、因式、商
• 多项式整除的性质

• 余数定理

最大公因式

• 定义：公因式、最大公因式

• 辗转相除法

• 最大公因式的若干定理

• 多项式的互素

数域

• 定义：数域
• 定理：有理数是最小的数域

• 定义：一元多项式环 $F[x]$，其中 $F$ 为系数域。

因式分解定理

• 定义：可约多项式
• 定理：不可约多项式的充要条件

• 多项式的因式分解定理
• 多项式的标准分解式

重因式

• 定义：不可约多项式 $p(x)$，若 $p^{k}(x)\mid f(x)$ 同时 $p^{k+1}(x)\not\mid f(x)$，称 $p(x)$ 为 $f(x)$ 的k重因式
• 若 $p(x)$ 为 $f(x)$ 的k重因式，则 $p(x)$ 是 $f’(x)$ 的 k - 1 重因式

复系数与实系数多项式的因式分解

• 代数基本定理
• 复系数多项式因式分解定理
• 实系数多项式因式分解定理

有理系数多项式

• 定义：本原多项式
• 有理系数多项式可以表示成一个有理数与本原多项式的乘积

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