矩阵理论：线性空间与线性变换部分笔记

摘要: 研究生矩阵理论的笔记

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研究生矩阵理论部分笔记，2016 年，共 97 页。

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$1 线性空间与子空间

• 数域 $P$
• 定义：非空集合 $V$ 是数域 $P$ 上的线性空间、向量

• 定义：基底、维数 $\mathrm{dim}V$
• 定义：线性子空间

• 线性空间基本性质
• 定义：零空间

• 子空间判定定理
• 子空间的性质

$2 空间分解与维数定理

• 定义：子空间的和
• 维数定理

• 定义：直和 $V_{1}\oplus V_{2}$
• 直和的判定定理

• 定义：多个子空间的直和
• 多个子空间的直和判定定理

• 直和分解定理

• 定义：由线性空间 $V$ 的真子集 $S$ 张成的子空间 $\mathrm{span}S$，$S$ 为生成元集
• 定义：子空间的交 $V_{1} \cap V_{2}$
• 定理：子空间的交也是子空间

• 定理：子空间的和也是子空间
• 基的扩充定理

• 一个矩阵 $\mathbf{A}_{m\times n}$ 联系的四个子空间：

  • $\mathbf{A}$ 的零化空间 $N(\mathbf{A})$
  • $\mathbf{A}$ 的列空间 $R(\mathbf{A})$
  • $\mathbf{A}$ 的行空间 $R(\mathbf{A}^{T})$
  • $\mathbf{A}$ 的做零化空间 $N(\mathbf{A}^{T})$

• 计算 $N(\mathbf{A})$，$R(\mathbf{A})$，$R(\mathbf{A}^{T})$，$N(\mathbf{A}^{T})$ 的方法

$3 线性映射及其矩阵

• 定义：映射 $\sigma$、像、原像、定义域、值域
• 定义：线性映射
• $U$ 到 $V$ 的线性映射全体记为 $\mathrm{Hom}(U, V)$
• 记 $\mathrm{Hom}(V, V)$ 为 $\mathrm{End}(V)$
• 记 $V^{* } = \mathrm{Hom}(V, P)$，称为 $V$ 的对偶空间（共轭空间）
• 零映射

• 线性映射的性质
• 定义：同构映射、同构线性空间 $U \cong V$、自同构

• 同构线性空间的性质

• 同构定理

• 定义：基像 $\sigma(\vec{e}_{1}), \cdots, \sigma(\vec{e}_{n})$
• 定义：线性映射的相等

• 定理：线性映射由基像唯一确定
• $\sigma: U \rightarrow V$, $\mathrm{dim}U = n, \mathrm{dim}V = m$，$U$ 的基为 $\vec{e}_{1}, \cdots, \vec{e}_{n}$，称 $V$ 的基 $\vec{e}_{1}^{‘}, \cdots, \vec{e}_{m}^{‘}$ 为基偶

• 定义：$\sigma(\vec{e}_{1}, \cdots, \vec{e}_{n}) = (\vec{e}_{1}’, \cdots, \vec{e}_{m}’)\mathrm{A}$，其中 $\mathbf{A}$ 称为线性映射的矩阵表示

• 定理：线性映射下的坐标变换

• 定义：映射的核 $\mathrm{Ker}(\sigma)$；映射的像 $\mathrm{Im}(\sigma)$
• 定理：$\mathrm{Ker}(\sigma)$ 是 $V$ 的子空间；$\mathrm{Im}(\sigma)$ 是 $U$ 的子空间

• 定义：子空间 $\mathrm{Ker}(\sigma)$ 的维数 $\eta(\sigma)$ 称为 $\sigma$ 的零度；子空间 $\mathrm{Im}(\sigma)$ 的维数 $r(\sigma)$ 称为 $\sigma$ 的秩
• 一些特殊的线性映射：

• 定义：线性映射的运算：和、乘积、数乘

• 线性映射与矩阵运算的一一对应

• 定理：映射是单射、满射、同构映射的充要条件

• 定理：映射在加法和数乘下的线性空间的维数

• 线性变换基本定理

$4 线性变换与方阵

• 定义：线性变换 $\mathrm{Ent}(V)$ 及其对应的矩阵
• 定义：恒等变换，单位阵
• 线性变换的加法、乘法
• 零变换、负变换、单位变换
• 线性变换的数量乘法

• 定义：可逆变换，逆变换
• 定义：线性变换的幂、幂等变换、幂零变换

• 定理：数域 $P$ 上的 $n$ 维线性空间上的线性变换 $\sigma$ 在一组基 $\xi_{1}, \cdots, \xi_{n}$ 下对应一个 $n$ 阶矩阵 $\mathbf{A}$。这个对应为 $\psi: \mathrm{End}V \rightarrow M_{n}(P)$

• $\mathrm{End} V$ 中所有可逆变换的集合记为 $\mathrm{Ant}V$
• $\mathrm{Ant} V$ 与全体 $n$ 阶可逆阵的集合 $GL_{n}(F)$ 对应
• 对偶空间的对偶基
• 定理：过度矩阵

• 定义：相似变换（共轭变换）,同一线性变换在不同基下的矩阵

• 定义：相抵，同一线性映射在不同基偶下的矩阵
• 定义：合同
• 定义：不变子空间

• 定义：线性变换的值域、核
• 定义：列空间

• 定理：线性变换分解为不变子空间的直和，准对角矩阵

$5 线性变换的特征值

• 定义：特征值，特征向量
• 定理：相似矩阵有相同特征多项式
• 特征值与特征向量的性质

• 定理：特征多项式用顺序主子式表示

• 特征值的韦达定理：特征值的乘积为行列式、特征值的和为迹
• 定义：代数重数、特征子空间、几何重数
• 定理：几何重数 $\leq$ 代数重数

• 定理：互异特征值与线性无关的特征向量

• 定义：线性变换的对角化
• 定理：线性变换可对角化等价于有 $n$ 个线性无关的特征向量

• 定义：矩阵可以对角化
• 定理：矩阵可以对角化等价于等价于矩阵有 $n$ 个线性无关的特征向量

• 定义：完备的特征向量系，亏损矩阵

• 定理：可对角化等价于每个特征值的代数重数等于几何重数

• 线性变换的 $n$ 次幂的直和分解

$6 内积空间

• 定义：内积，欧几里得空间
• 内积的性质

• 向量的模
• 向量模的性质

• 向量的距离
• 向量的夹角

• 度量矩阵

• 度量矩阵的性质
• 定义：两个向量的正交

• 定理：两两正交的非零向量线性无关

• Schmidt 方法
• 定义：正交基、标准正交基

• 定理：标准正交基不唯一
• 定理：标准正交基等价于其度量矩阵为单位矩阵

• 酉空间
• 酉空间的模
• 酉空间的性质

$7 内积空间中的等积变换

• 定义：等积变换
• 定理：内积变换的两种等价条件

(1) 保持向量长度
(2) 保持向量间距

• 欧式空间的等距变换为正交变换
• 酉空间的等距变换为酉变换

正交变换

• 正交变换的几个等价命题

• 定义：正交矩阵
• 正交矩阵性质

• 正交变换例子：初等旋转变换
• 初等旋转矩阵

• 正交变换例子：镜像变换
• 初等反射矩阵

• 初等反射矩阵的性质

• 初等旋转矩阵是两个初等反射矩阵的乘积

酉变换

• 定义：酉空间与酉变换

• 酉变换的例子：初等酉变换
• 酉变换的例子：初等Hermite变换

$8 内积空间中的其它变换

正交投影变换

• 定义：子空间的正交

• 定义：正交分解、正交补子空间

• 矩阵的四个相关子空间的关系

• 定义：正交投影变换

自伴与伴随变换、对称变换

• 定义：对称变换
• $\sigma$ 是对称变换 $\Leftrightarrow$ $\sigma$ 在标准正交基下是对称矩阵

• 矩阵在内积运算中的转移规则

• 伴随变换
• 自伴随变换
• 任何变换的伴随变换存在且唯一

• $\sigma$ 伴随变换在标准正交基下的矩阵为 $\sigma$ 在标准正交基下矩阵的转置
• 伴随变换的性质

Hermite 变换

• Hermite 变换
• Hermite 矩阵

• Schur定理

• $\mathbf{A}$ 为 Hermite 矩阵，则 $\mathbf{A}$ 酉相似于对角阵，且对角元均为实数

• 半正定矩阵，正定矩阵

• 正定矩阵的性质

• 非负定矩阵的性质

• 矩阵正定等价于其各阶顺序主子式均大于 0

• Hermite 矩阵的性质

• 矩阵的各种不等式性质

• Hermite 矩阵特征值性质
• 瑞利商

• Hermite 矩阵的特征值

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