矩阵理论：线性代数复习

摘要: 矩阵理论复习

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$1 矩阵乘法与分块矩阵

• 数域 $F$ 上的 $m\times n$ 阶矩阵全体：$F^{m\times n}$
• 全体 $n$ 阶方阵：$M_{n}(F)$
• 共轭矩阵
• 共轭转置矩阵
• 基本矩阵 $\mathbf{E}_{ij}$
• kronecker符号
• 矩阵乘法

• $\mathbf{A}\mathbf{B}$
• $\mathbf{A}$ 的多项式 $f(\mathbf{A})$
• 行列式
• 迹

• 秩
• 伴随矩阵
• 逆矩阵

• sylvester不等式
• 分块初等矩阵

• 分块对角矩阵

$2 线性方程组与 n 维线性空间

• 定理：$\mathbf{A}\mathbf{x} = \mathbf{0}$ 解的结构
• 向量组的线性无关、线性相关

• 向量组的秩，极大线性无关组，基础解系
• 线性方程组的基本定理
• 齐次线性方程组的基本定理

• n维线性空间，基，维数
• 子空间
• 初等变换，初等矩阵

• Hermite标准形
• 满秩分解

$3 特征值与矩阵的相似对角化

• 相似、特征值、特征多项式、特征向量
• 特征子空间
• 几何重数
• $\mathbf{A}$ 的所有特征值集合称为 $\mathbf{A}$ 的谱；特征值的最大摸称为 $\mathbf{A}$ 的谱半径

• 代数重数
• 特征值的性质
• 特征向量的性质
• 对角化主定理

$4 线性空间

• 线性空间

• 基、维数
• 定理：向量可以唯一地表示为基的线性组合

• 定理：n 维空间中任意 n + 1 个向量线性相关
• 推论：n 维空间中任意 n 个线性无关的向量构成一组基
• 定理：n 维空间中任意 r 哥线性无关的向量可以扩充成一组基
• 过渡矩阵、坐标变换

$5 内积空间

• 内积、内积空间

• 欧式空间、酉空间
• 范数
• 内积和范数的性质

• 欧式空间内积定理
• 酉空间内积定义
• 正交组
• 标准正交组
• 定理：内积空间一定存在标准正交基（Schmidt 正交化）
• 投影向量
• 酉矩阵（实的酉矩阵称为正交矩阵）

• $\mathbf{Q}$ 为酉矩阵 $\Leftrightarrow \mathbf{Q}^{* }\mathbf{Q} = \mathbf{I}$
• $\mathbf{Q}$ 为正交矩阵 $\Leftrightarrow \mathbf{Q}^{T}\mathbf{Q} = \mathbf{I}$
• 复共轭对称矩阵称为 Hermite 矩阵
• 定理：Hermite 矩阵特征就均为实数，且属于不同特征值的额特征向量正交
• 定理：Hermite 矩阵的酉对角化
• Hermite 二次型

• 正定二次型、正定矩阵

• 度量矩阵
• 内积与正定矩阵一一对应

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