数学分析-多元微积分

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2022-02-10

代数28, 几何8, 分析46, 手写笔记49

摘要: 2015 年写的史济怀数学分析课程笔记，第三部分：多元微积分

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2015 年，史济怀数学分析课程笔记，共 3 部分

这是多元微积分部分，共 182 页，主要内容如下：

多变量函数的连续性
多变量函数的微分学
曲面的表示与逼近
多重积分
曲线积分
曲面积分
场的数学
含参变量的积分

13. 多变量函数的连续性

13.1 n维Euclid空间
13.2 $R^{n}$中点列的极限

13.1 n维Euclid空间

【定义】积集
【定义】$R^{n}$
【定义】向量
【定义】$R^{n}$ 中的加法、数乘
【定义】线性空间八条

【定义】内积
内积的性质
【定义】n 维欧几里得空间
【定义】向量的范数
向量范数的性质

【定义】单位向量
【定义】$\vec{x}$ 与 $\vec{y}$ 的距离
【定义】闭球
【定义】有界集
【定义】点集无界
【定义】矩阵的范数
矩阵范数的性质

13.2 $R^{n}$中点列的极限

【定义】点列
【定义】点列的极限
收敛点列的性质

点列的极限的性质

【定义】基本点列
$\{\vec{x_{i}}\}$ 为收敛点列 $\Leftrightarrow$ $\{\vec{x_{i}}\}$ 为基本点列

Bolzano-Weierstrass 定理

13.3 $R^{n}$中的开集和闭集

【定义】点集 E 的内点、内部、开集

定理：对任何点集 E，E 的内部是开集

$R^{n}$ 中关于开集的定理

【定义】补集
【定义】闭集
De Morgan 律
$R^{n}$ 中关于闭集的定理

【定义】空心球
【定义】凝聚点、孤立点
凝聚点的性质定理
【定义】点集 E 的导集、闭包

导集的性质定理

开集和闭集不是对立的：不开不闭类似于半开半闭区间 [a, b)、既开又闭的只有 $\emptyset$ 和 $R^{n}$
E 的导集与闭包都是闭集
E 的内部；是含于 E 的最大开集、E 的闭包是包含着 E 的最小闭集

【定义】点集 E 的外点、外部、边界点、边界
闭集套定理

13.4 列紧集和紧致集

【定义】列紧集
E 是列紧集等价于 E 是有界闭集

【定义】开覆盖
【定义】紧致集
欧式空间的点集 E 是紧致集等价于 E 是有界闭集

13.5 集合的连通性

【定义】连通集
【定义】区域、闭区域（对应于实数集的区间、闭区间）

开集 E 是连通集等价于 E 不能分解为两个不相交的非空开集的并

在实数集 $R$ 上，集合 E 连通等价于 E 为区间

【定义】点集 E 道路连通
道路连通集一定是连通集

道路连通的开集是区域

13.6 多变量函数的极限

【定义】n元函数、定义域、值域
【定义】f 在 $\vec{a}$ 处有极限 $\lim\limits_{\vec{x}\rightarrow \vec{a}}f(\vec{x}) = l$

点列极限与多元函数极限的关系
多元函数极限的性质
多元复合函数在某点处有极限的充分条件

多源函数在某点有极限的充要条件(函数极限的 Cauchy 收敛原理)

13.7 多变量连续函数

【定义】f 在 $\vec{a}$ 连续，连续点、间断点

函数连续的性质
复合函数的连续
【定义】一致连续

多元函数关于连续的定理

介值定理
【定义】凸域、凸函数

13.8 连续映射

【定义】向量值函数
【定义】分量函数

【定义】映射 $\vec{f}$ 在 $\vec{a}$ 有极限 $\vec{p}$
向量值函数的极限的性质
【定义】映射 $\vec{f}$ 在 $\vec{a}$ 连续

向量值函数连续的性质

【定义】向量值函数的一致连续

14. 多变量函数的微分学

14.1 方向导数和偏导数
14.2 多变量函数的微分
14.3 映射的微分
14.4 复合求导
14.5 拟微分中值定理
14.6 隐函数定理
14.7 隐映射定理
14.8 逆映射定理
14.9 高阶偏导数
14.10 Taylor公式
14.11 极值
14.12 条件极值

14.1 方向导数和偏导数

【定义】方向导数

【定义】一阶偏导数、偏微分算子
二元函数偏导数的几何意义

14.2 多变量函数的微分

【定义】f 在 $\vec{x_{0}}$ 的微分、可微函数

f 在 $\vec{x_{0}}$ 可微 $\Rightarrow$ f 在 $\vec{x_{0}}$ 连续
【定义】函数 f 的 Jacobian、梯度
定理：可微的等价定义

【定义】邻域
定理：可微的一个充分条件

偏导数连续、可微、连续等概念的联系

【定义】连续可微

14.3 映射的微分

【定义】映射 $\vec{f}$ 在 $\vec{x_{0}}$ 可微、映射的微分

【定义】映射的 Jacobian、梯度
基于 Jacobian 的映射可微的一个判定定理

14.4 复合求导

定理：复合映射的可微

定理：方向导数的计算

【定义】方向余弦、方向角

14.5 拟微分中值定理

定理：凸区域的可微函数的性质

拟微分平均值定理

定理：凸域的可微映射的性质

关于常向量的定理

14.6 隐函数定理

【定义】曲线的隐式方程

隐函数定理

14.7 隐映射定理

隐映射定理

14.8 逆映射定理

局部逆映射定理

逆映射定理

【定义】正则映射

14.9 高阶偏导数

混合偏导数的性质定理

14.10 Taylor公式

多项式定理

定理：Lagrange 余项

14.11 极值

【定义】极小值点、极小值、严格极小值点、严格极小值

定理：n 元函数 f 在 $\vec{P_{0}}$ 取得极值的必要条件。
【定义】驻点
【定义】正（负）定二次型、正（负）定矩阵；严格正（负）定二次型、严格正（负）定矩阵；不定二次型、不定矩阵

矩阵理论的几个结论

14.12 条件极值

定理：取得条件极值的必要条件

定理：条件极值的充分条件

15. 曲面的表示与逼近

15.0 平面与二次曲面的方程
15.1 曲面的显式方程和隐式方程
15.2 曲面的参数方程
15.3 凸曲面
15.4 Bernstein-Bezier曲面

15.0 平面与二次曲面的方程

平面、直线

二次曲面

15.1 曲面的显式方程和隐式方程

【定义】显示方程、隐式方程、切平面、法向量

15.2 曲面的参数方程

【定义】曲线坐标
【定义】曲面的第一基本量
【定义】单位法向量

15.4 凸曲面

15.5 Bernstein-Bezier曲面

16. 多重积分

16.1 矩形区域上的积分
16.2 可积函数类
16.3 矩形区域上二重积分的计算
16.4 有界集合上的二重积分
16.5 有界集合上的积分计算
16.6 二重积分换元
16.7 三重积分
16.8 n重积分
16.9 重积分的物理应用

16.1 矩形区域上的积分

【定义】二重积分

【定义】上和、下和

【定义】上积分、下积分
定理：上下积分相等的充要条件

f 在 I 可积的充要条件（I 是 $R^{2}$ 中的闭矩形）

16.2 可积函数类

定理：f 在 I 连续，则 f 在 I 可积

【定义】零测集
【定义】零面积集
零测集与零面积集的定理

Lebesgue 定理

【定义】振幅

关于零面积集与可积的定理

16.3 矩形区域上二重积分的计算

【定义】累次积分

16.4 有界集合上的二重积分

【定义】二重积分

积分平均值定理

16.5 有界集合上的积分计算

16.6 二重积分换元

16.7 三重积分

16.8 n重积分

16.9 重积分的物理应用

微元法

大多数物理问题的函数和映射都是连续的，积分一定存在，微元法的合理性有保障。

17. 曲线积分

17.1 第一型曲线积分
17.2 第二型曲线积分
17.3 Green公式
17.4 等周问题

17.1 第一型曲线积分

【定义】第一型曲线积分
定理：第一型曲线积分转化为定积分

17.2 第二型曲线积分

【定义】第二型曲线积分

17.3 Green公式

Green 定理
【定义】甲类区域、乙类区域、单连通区域、多连通区域

17.4 等周问题

18. 曲面积分

18.1 曲面的面积
18.2 第一型曲面积分
18.3 第二型曲面积分
18.4 Gauss公式与Stokes公式
18.5 微分形式与外微分运算

18.1 曲面的面积

【定义】面积、面积元

18.2 第一型曲面积分

【定义】第一型曲线积分

18.3 第二型曲面积分

【定义】单位法向量

【定义】双侧曲面、可定向（不可定向曲面的例子：莫比乌斯带）
【定义】第二型曲面积分

曲面积分几个公式

18.4 Gauss公式与Stokes公式

Gauss 公式

Stocks 公式

18.5 微分形式与外微分运算

Green、Gauss、Stocks 对比
【定义】外积运算
0次、1次、2次、3次微分形式

外微分运算

$R^{n}$ 中的微分形式

19. 场的数学

19.1 数量场的梯度
19.2 向量场的散度
19.3 向量场的旋度
19.4 有势场和势函数
19.5 正交曲线坐标系中的梯度、散度、旋度

19.1 数量场的梯度

数量场、向量场
梯度是等值面的法向量
Nabla 算子及其运算规则

19.2 向量场的散度

【定义】向量场的散度
Laplace 算子

19.3 向量场的旋度

【定义】环量
【定义】旋度

19.4 有势场和势函数

【定义】有势场、势函数
【定义】保守场
【定义】无旋场

19.5 正交曲线坐标系中的梯度、散度、旋度

20. 含参变量的积分

20.1 含参变量的常义积分
20.2 含参变量反常积分的一致收敛
20.3 含参变量反常积分的性质
20.4 $\Gamma$函数与B函数
20.5 n维球的体积和面积

20.1 含参变量的常义积分

含参变量常义积分
含参变量广义积分

20.2 含参变量反常积分的一致收敛

含参变量反常积分一致收敛的 Cauchy 收敛原理

Weierstrass 判别法

Dirichlet 判别法

Abel 定理

$\int_{0}^{+\infty}\frac{x^{p-1}}{1+x}dx$, $0 < p < 1$

20.3 含参变量反常积分的性质

Dini 定理

Fresnel 积分 $\int_{0}^{+\infty}\sin{x^{2}}dx$

Dirichlet 积分 $\int_{0}^{+\infty}\frac{\sin{x}}{x}dx$

20.4 $\Gamma$函数与B函数

$\Gamma$ 函数的性质

$\Gamma$ 函数的 Gauss 定义

$B$ 函数与 $\Gamma$ 函数的关系

$B$ 函数的性质

Legendre 加倍公式
余元公式

20.5 n维球的体积和面积