数学分析-级数论

字数统计: 2.6k字 | 阅读时长: 10分

2022-02-10

摘要: 2015 年写的史济怀数学分析课程笔记，第二部分：级数论

【对算法，数学，计算机感兴趣的同学，欢迎关注我哈，阅读更多原创文章】
我的网站：潮汐朝夕的生活实验室
我的公众号：算法题刷刷
我的知乎：潮汐朝夕
我的github：FennelDumplings
我的leetcode：FennelDumplings

2015 年，史济怀数学分析课程笔记，共 3 部分

这是级数论部分，共 147 页。

数项级数
函数列与函数项级数
反常积分
Fourier分析

9. 数项级数

9.1 无穷级数的基本性质
9.2 正项级数的比较判别法
9.3 正项级数的其它判别法
9.4 一般级数
9.5 绝对收敛与条件收敛
9.6 级数的乘法
9.7 无穷乘积

无穷级数

【定义】无穷级数的第 n 个部分和、级数收敛、级数发散
级数收敛的一个必要条件：$\lim\limits_{n\rightarrow \infty}a_{n}=0$
级数的线性组合的收敛性

级数的项任意归组但不改变先后顺序得到新级数的收敛性

级数前面去掉有限项，加上有限项，不影响收敛性

正项级数

正项级数的收敛性

比较判别法
比较判别法的极限形式

Cauchy 积分判别法
正项级数的 Cauchy 判别法
正项级数的 Cauchy 判别法的极限形式

D’Alembert 判别法 (达朗贝尔)
D’Alembert 判别法的极限形式

正数列的上确界、下确界的一个不等式

Raabe 判别法
Raabe 判别法极限形式

Gauss 判别法
Gauss 判别法极限形式

敛散性例题1

敛散性例题2~4
p级数

敛散性例题5~8

敛散性例题9~11

敛散性例题12~13

敛散性例题14

一般级数

Cauchy 收敛原理

【定义】交错级数
Leibniz 判别法
部分求和公式

Abel 引理
Dirichlet 判别法

Abel 判别法

敛散性例题1

敛散性例题2~3

绝对收敛与条件收敛

若 $\sum\limits_{n=1}\limits^{\infty}|a_{n}|$，则 $\sum\limits_{n=1}\limits^{\infty}a_{n}$ 也收敛

【定义】绝对收敛
【定义】条件收敛
绝对收敛级数中交换无穷多项的次序，新级数仍然绝对收敛

条件收敛的黎曼定理

$(\sum\limits_{n=1}\limits^{\infty}a_{n})(\sum\limits_{n=1}\limits^{\infty}b_{n})$

无穷矩阵怎么相加：按对角线；按方块
【定义】Cauchy 乘积
Cauchy 乘积的收敛性定理

柯西乘积收敛性的 Mertens 定理

【定义】无穷乘积
【定义】部分乘积
证明 Wallis 公式

$\prod\limits_{n=1}\limits^{\infty}(1+a_{n})$ 的几条性质

$\alpha > -1$，则 $\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\binom{\alpha}{n}=0$
收敛的无穷乘积不可随意交换因子次序

绝对收敛的无穷乘积一定收敛
任意改变绝对收敛的无穷乘积中因子的次序，所得新无穷乘积也绝对收敛

10. 函数列与函数项级数

10.1 函数项级数及其收敛
10.2 一致收敛
10.3 极限函数与和函数性质
10.4 由幂级数确定的函数
10.5 函数的幂级数展开
10.6 用多项式一致逼近连续函数
10.7 幂级数在组合数学的应用
10.8 两个著名的例子：(1) 处处连续处处不可微的函数；(2) 填满正方形的连续曲线

【定义】函数项级数 $\sum\limits_{n=1}\limits^{\infty}u_{n}(x)$
【定义】函数项级数在 $x_{0}$ 收敛
【定义】函数项级数在 [a, b] 收敛
【定义】收敛点集
【定义】对于收敛点集中的点 x，和函数 $S(x) = \sum\limits_{n=1}\limits^{\infty}u_{n}(x)$

【定义】函数项级数 $\sum\limits_{n=1}\limits^{\infty}u_{n}(x)$ 的部分和 $S_{n}(x) = \sum\limits_{k=1}\limits^{n}u_{k}(x)$，$S(x) = \lim\limits_{n\rightarrow \infty}S_{n}(x)$
部分和 $S_{n}(x)$ 的性质不能推广到和函数 $S(x)$ （三个不成立的命题）

【定义】${f_{n}}$ 在点集 I 上一致收敛于 $f$
函数项级数一致收敛的性质

函数项级数的 Cauchy 收敛原理

函数项级数在区间 I 上一致收敛的 Weierstrass 判别法
【定义】满足 Weierstrass 判别法的 $\sum\limits_{n=1}\limits^{\infty}a_{n}$ 称为 $\sum\limits_{n=1}\limits^{\infty}u_{n}(x)$ 在区间 I 上的一个优级数

【定义】函数列的有界
【定义】函数列的一致有界
Dirichlet 判别法

证明函数项级数一致收敛的例题

Abel 判别法

极限函数与和函数的性质
10.1 中的三个不成立命题假设一致收敛条件，则成立

极限函数与和函数关于连续的定理

Dini 定理

极限函数与和函数关于可积的定理

极限函数与和函数关于可微的定理

极限函数与和函数关于连续、可积、可微的定理的极限写法

【定义】幂级数 $\sum\limits_{n=0}\limits^{\infty}a_{n}(x-x_{0})^{n}$
Abel 定理

幂级数的收敛、绝对收敛的判定定理
【定义】收敛半径，收敛区间

幂级数的内闭一致收敛
幂级数的收敛半径的性质

Abel 第二定理

Abel 第二定理的逆命题

Tauber 定理

幂级数的柯西乘积的收敛性

函数的幂级数展开
【定义】Taylor 级数
【定义】Maclaurin 级数

【定义】Lagrange 余项
【定义】Cauchy 余项

f 能在 $x_{0}-R, x_{0}+R$ 展开为 Taylor 级数的充分条件
求 $e^{x}$ 的 Maclaurin展开式
求 $sin(x)$ 的 Maclaurin展开式

求 $(1+x)^{\alpha}$ 的 Maclaurin展开式

6 个初等函数的幂级数展开

【定义】多项式一致逼近函数
f 在 [a, b] 能用多项式一致逼近等价于 f 在 [a, b] 连续。
Weierstass 定理

【定义】定义在 [0, 1] 上的 f 的 Bernstein 多项式 $B_{n}(f;x)=\sum\limits_{i=0}\limits^{n}f(\frac{i}{n})B_{i}^{n}(x)$
Bernstein 的逼近性证明（保形性、磨光性参考第 5 章）

Bernstein 定理

基于 Bernstein 定理证明 Weierstass 定理

【定义】母函数
【定义】形式幂级数

Vandermonde 公式

处处连续处处不可微的函数

填满正方形的连续曲线

11. 反常积分

11.1 非负函数无穷积分的收敛判别法
11.2 无穷积分的Dirichlet和Abel审敛法
11.3 瑕积分的审敛判别法

【定义】无穷积分 $\int^{+\infty}_{0}f(x)dx$ 收敛
$F(A) = \int_{a}^{x}f(x)dx$ 相当于级数的部分和
f 是 [a, $+\infty$) 上的非负函数，则 $\int_{0}^{+\infty}f(x)dx$ 收敛 $\Leftrightarrow$ $\int_{a}^{A}f(x)dx$ 在 $[a, +\infty)$ 有界。
无穷积分收敛的比较判别法

无穷积分收敛的比较判别法的极限形式
无穷积分收敛的 Cauchy 判别法

通过级数收敛判定无穷积分收敛的定理

Cauchy 收敛原理
无穷积分的绝对收敛、条件收敛

第二积分平均值定理

推广的第二积分平均值定理
Dirichlet 判别法

Abel 判别法

【定义】瑕积分 $\int^{b}_{a}f(x)dx$ 收敛
瑕积分可以通过变换转化成无穷积分
瑕积分收敛的比较判别法

瑕积分的 Cauchy 收敛原理
$\int^{b}_{a}|f(x)|dx$ 收敛 $\Rightarrow$ $\int^{b}_{a}f(x)dx$ 收敛 (此定理反映了反常积分与 Riemann 积分的差别)
Dirichlet 判别法

例题；Beta 函数 $\int^{1}_{0}x^{p-1}(1-x)^{q-1}dx$ 的敛散性

例题；Gamma 函数 $\int^{+\infty}_{0}x^{s-1}e^{x}dx$ 的敛散性

【定义】$\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx$ 收敛
【定义】$\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx$ 的 Cauchy 主值
【定义】瑕积分的 Cauchy 主值

12. Fourier分析

12.1 周期函数的Fourier级数
12.2 Fourier级数的收敛定理
12.3 Fourier级数的Cesaro求和
12.4 平方平均逼近
12.5 Fourier积分和Fourier变换

【定义】简谐振动 $x(t) = a\sin(\omega t + \phi)$
两个 $\omega$ 不同的简谐波叠加得到非简谐波，但仍有周期
问题：复杂周期波能否分成简谐波的叠加（$[-\pi, \pi]$ 上的函数 f 在什么情况下能展开成傅里叶级数）

三角函数系及其正交性

（$[-\pi, \pi]$ 上的函数 f 能展开成傅里叶级数的条件）假设 f 周期 $2\pi$，且在 $[-\pi, \pi]$ 可积或绝对可积（若 f 在 $[-\pi, \pi]$ 有界，假定其 Riemann 可积，若 f 在 $[-\pi, \pi]$ 无界，假定反常积分绝对可积），此时按照公式：

$\left\{ \begin{array}{**lr**} a_{n} = \frac{1}{\pi}\int^{+\pi}_{-\pi}f(x)\cos nxdx \quad\quad n=0.1,2,... \\ b_{n} = \frac{1}{\pi}\int^{+\pi}_{-\pi}f(x)\sin nxdx \quad\quad n=0.1,2,... \\ \end{array} \right.$

可构造出 $a_{n}, b_{n}$，此后就可造出以下级数，称为傅里叶级数

$\frac{a_{0}}{2} + \sum\limits_{n=1}\limits^{\infty}(a_{n}\cos nx + b_{n}\sin nx)$