数学分析-一元微积分

摘要: 2015 年写的史济怀数学分析课程笔记，第一部分：一元微积分

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2015 年，史济怀数学分析课程笔记，共 3 部分

• 数学分析-一元微积分
• 数学分析-级数论
• 数学分析-多元微积分

这是一元微积分部分，共 143 页。

• 实数和数列极限
• 函数的连续性
• 函数的导数
• 一元微分学的顶峰-Taylor定理
• 插值与逼近初步
• 求导的逆运算
• 函数的积分
• 曲线的表示与逼近

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1. 实数和数列极限

1.1 数轴
1.2 无尽小数
1.3 数列和收敛数列
1.4 收敛数列的性质
1.5 数列极限概念的推广
1.6 单调数列
1.7 自然对数底e
1.8 基本列和收敛定理
1.9 上确界和下确界
1.10 有限覆盖定理
1.11 上极限和下极限
1.12 stolz定理

• 有理数稠密
• 任意实数可以用有理数逼近

• 【定义】数列的极限
• 【定义】收敛数列

• 收敛数列的极限唯一
• 收敛数列必有界

• 【定义】子列
• 子列的极限

• 极限的四则运算

• 【定义】无穷小列
• 无穷小的性质

• 夹逼定理

• 【定义】数列的极限为正无穷、负无穷
• 【定义】无穷大
• 无穷大的性质
• 扩充的实数系统

• 4 道例题

• 【定义】递增数列、递减数列
• 单调有界数列一定有极限

• 闭区间套定理

• 自然对数

• 自然对数底是无理数
• 【定义】基本列(Cauchy列)
• 从任意数列中可以取出单调子列

• 4 道例题

• 列紧性定理(Bolzano-Weierstrass)
• 柯西收敛原理：一个数列收敛的充要条件是它是基本列

• 【定义】上确界和下确界 (sup 和 inf)
• 非空有上界的集合必有上确界、非空有下界的集合必有下确界

• 确界定理

• 【定义】开覆盖
• 有限覆盖定理(Heine-Borel定理)

• 六条实数系统连续的等价陈述
  • 单调有界数列必有极限
  • 闭区间套定理
  • 列紧性定理
  • Cauchy收敛原理
  • 确界定理
  • 有限覆盖定理

• 【定义】上极限和下极限

• 数列的上(下)极限是它的一切收敛子列的极限所组成的集合中的最大(小)者

• 上下极限的性质

• 3 道例题

• 不同起点开始的子列的上下极限组成的数列

• Stolz 定理

2. 函数的连续性

• 集合的映射
• 集合的势
• 函数
• 函数的极限
• 极限过程其它形式
• 无穷小与无穷大
• 连续函数
• 连续函数的极限计算
• 函数的一致连续性
• 有限闭区间上连续函数的性质
• 函数的上极限和下极限
• 混沌现象

• 【定义】映射、定义域、像、值域
• 【定义】映射的相等
• 【定义】满射、单射

• 【定义】一一对应关系
• 【定义】逆像
• 【定义】复合
• 【定义】恒等映射
• 【定义】结合的等价

• 【定义】有限集、无限集、可数集、不可数集、至多可数集合
• 可数集的每一个无限子集都是可数集
• 至多可数集序列的并集也是至多可数集

• R 中全体有理数集合是可数的

• [0, 1] 上的实数集合是不可数的

• 【定义】函数
• 【定义】反函数
• 【定义】递增/递减函数，严格递增/严格递减函数

• 严格递增函数，反函数必存在，且反函数也严格递增
• 【定义】函数的极限

• 函数的极限的性质

• 夹逼定理
• 复合函数在某点处有极限的充分条件

• 函数极限与数列极限的关系定理

• 函数在某点有极限的充要条件(函数极限的 Cauchy 收敛原理)

• 【定义】右极限、左极限
• 函数在某点有极限的充要条件(右极限=左极限)

• 函数在某点极限的唯一性
• 函数在某点有极限，则函数在该点近旁有界
• 函数在某点的大小与函数在某点的极限的大小的关系

• 黎曼函数在任意一点的极限均为零
• 函数在x趋于无穷时的极限

• 自然对数底的极限定义的证明

• 【定义】无穷大、无穷小
• 【定义】高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小
• 【定义】高阶无穷大、同阶无穷大、等价无穷大

• 不是每个无穷小/无穷大都可以定阶，例如 x->0 时, $x\sin(\frac{1}{x})$
• 计算极限时，因式形式的无穷小可以用同阶无穷小替换
• 【定义】大 O，小 o

• 【定义】函数在 $x_{0} \in (a, b)$ 连续的定义

• 【定义】函数在某点的左连续、右连续、连续
• 函数连续的性质
• 复合函数的连续
• 【定义】f 在 I 上每一点连续，称 f 在 I 上连续，C(I) 表示 I 上全体连续函数

• 反函数的连续
• 初等函数
• 初等函数在定义域上连续

• 【定义】间断点
  • 第一类间断点
    • 跳跃间断点
    • 可去间断点
  • 第二类间断点
• 单调函数的间断点

• 连续函数的极限计算

• 【定义】一致连续

• 连续和一致连续的区别

• 有限闭区间 [a, b] 上连续函数 f 的性质
  • f 在 [a, b] 上一致连续
  • f 在 [a, b] 上有界
  • f 在 [a, b] 上一定能取到最大值和最小值

• 零值定理

• 介值定理

• 【定义】上极限和下极限

• 上下极限的性质

• 决定性系统，动力系统
• 【定义】函数 f 的 n 次迭代

• 【定义】n-周期点、n-周期轨、不动点

• 【定义】混沌系统

3. 函数的导数

• 导数的定义
• 导数的计算
• 高阶导数
• 微分学的中值定理
• 利用导数研究函数
• L’Hospital法则

• 函数作图

• 【定义】函数 f 在某一点 x 的导数、可导

• 【定义】左导数、右导数

• 函数 f 在 x0 可导，则 f 在 x0 处连续
• 【定义】函数 f 在区间 (a, b)、[a, b] 上的可导
• 求导的四则运算

• 链式法则
• 反函数求导

• 求导公式

• 【定义】n 阶导数
• Leibniz 公式 (复合函数的 n 阶导数)

• 【定义】极大值、极大值点；极小值、极小值点；极值、极值点
• Fermat 定理

• 【定义】驻点
• Rolle 定理
• 微分中值定理

• Lagrange 中值定理
• Cauchy 中值定理

• 利用导数研究函数
  • 单调性
  • 极值
  • 凸性

• 【定义】凸函数、严格凸函数
• Jenson不等式

• L’Hospital 法则

• 函数作图
• 【定义】拐点
• 【定义】水平渐近线、竖直渐近线、斜渐近线

4. 一元微分学的顶峰-Taylor定理

• 函数的微分
• 带Peano余项的Taylor定理
• 带Lagrange余项和Cauchy余项的Taylor定理

• 【定义】函数 f 在点 x 可微，微分

• f 在点 x 的微分的几何意义

• 四则运算的微分法则
• 复合函数的微分公式
• 微分的形式不变性

• 【定义】函数 f 在点 x0 处的 n 次 Taylor 多项式
• 带 Peano 余项的 Taylor 定理

• f 的 n 次 Maclaurin 多项式

• 带 Lagrange 余项和 Cauchy 余项的 Taylor 定理

• 推导线性插值的误差公式

5. 插值与逼近初步

• Lagrange插值公式
• 多项式的Bernstein表示
• Bernstein多项式

• Lagrange插值公式

• 【定义】多项式 Pn 的 Bernstein 基底

• 多项式 p 的 Bernstein 表示、Bernstein 系数
• 【定义】p 的控制多边形

• 控制多边形的性质

• 【定义】函数 f 的 n 次 Bernstein 多项式
• n 次 Bernstein 算子 Bn

• Bn 的迭代极限
• Bn 的磨光性质

6. 求导的逆运算

• 不定积分
• 分部积分与换元法
• 有理函数的原函数
• 可有理化函数的原函数

• 【定义】原函数、不定积分
• 常用函数的不定积分

• 不定积分的性质
• 分部积分与换元法

• 有理函数的原函数

• 可有理化函数的原函数

7. 函数的积分

• 积分的概念
• 可积函数的性质
• 微积分基本定理
• 分部积分与换元
• 可积性理论
• Lebesgue定理
• 反常积分(广义积分)
• 面积原理
• Wallis公式与Stirling公式

• 【定义】Riemann可积、Riemann积分、Riemann和
• Riemann可积函数的性质

• Newton-Leibniz 公式

• 积分可加性

• 积分平均值定理

• 变上限积分

• 微积分基本定理

• 分部积分

• Taylor 公式的积分余项

• 换元法

• 【定义】f 在 [a, b] 的振幅
• 【定义】上和、下和

• 【定义】上积分、下积分

• Darboux 定理

• f 在 [a, b] 可积的充要条件

• 闭区间上可积的充分条件
  • f 在 [a, b] 单调，则 f 在 [a, b] 可积
  • f 在 [a, b] 连续，则 f 在 [a, b] 可积

• 【定义】开覆盖、零测度集

• 零测集的性质

• 【定义】f 在 x 处的振幅

• Lebesgue 定理的 3 个引理

• Lebesgue 定理

• Lebesgue 定理的推论
• 连续，则有原函数
• 可积不一定有原函数、有原函数不一定可积

• 【定义】几乎处处连续
• Lebesgue 定理，Riemann 积分与 Lebesgue 积分

• Riemann 积分的两个条件：区间有界、函数有界
• 两个条件对应两种广义积分：无穷积分、瑕积分

• 面积原理

• Euler 常数
• 用面积原理证明不等式
  • Young 不等式
  • Holder 不等式
  • Cauchy-Schwarz 不等式

• Wallis 公式

• 斯特林公式

8. 曲线的表示与逼近

• 参数曲线
• 曲线的切向量
• 光滑曲线的弧长
• 曲率
• Bezier曲线

• 【定义】连续曲线、自交的曲线、封闭曲线、曲线的定向

• 【定义】正则点、奇点、正则曲线、光滑曲线

• 【定义】光滑曲线的弧长

• 光滑曲线弧长的计算

• 弧元微分
• 【定义】曲率

• 曲率的计算公式

• 【定义】Bezier 曲线
• 【定义】Bezier 曲线的控制点、控制多边形

• 【定义】凸集、凸包、凸线性组合
• 凸包性质

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