数学分析-一元微积分

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摘要: 2015 年写的史济怀数学分析课程笔记,第一部分:一元微积分

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2015 年,史济怀数学分析课程笔记,共 3 部分

这是一元微积分部分,共 143 页。

  • 实数和数列极限
  • 函数的连续性
  • 函数的导数
  • 一元微分学的顶峰-Taylor定理
  • 插值与逼近初步
  • 求导的逆运算
  • 函数的积分
  • 曲线的表示与逼近

1. 实数和数列极限

1.1 数轴
1.2 无尽小数
1.3 数列和收敛数列
1.4 收敛数列的性质
1.5 数列极限概念的推广
1.6 单调数列
1.7 自然对数底e
1.8 基本列和收敛定理
1.9 上确界和下确界
1.10 有限覆盖定理
1.11 上极限和下极限
1.12 stolz定理

  • 实数稠密
  • 任意实数可以用有理数逼近

  • 【定义】数列的极限
  • 【定义】收敛数列

  • 收敛数列的极限唯一
  • 收敛数列必有界

  • 【定义】子列
  • 子列的极限

  • 极限的四则运算

  • 【定义】无穷小列
  • 无穷小的性质

  • 夹逼定理

  • 【定义】数列的极限为正无穷、负无穷
  • 【定义】无穷大
  • 无穷大的性质
  • 扩充的实数系统

  • 4 道例题


  • 【定义】递增数列、递减数列
  • 单调有界数列一定有极限

  • 闭区间套定理

  • 自然对数

  • 自然对数底是无理数
  • 【定义】基本列(Cauchy列)
  • 从任意数列中可以取出单调子列

  • 4 道例题


  • 列紧性定理(Bolzano-Weierstrass)
  • 柯西收敛原理:一个数列收敛的充要条件是它是基本列

  • 【定义】上确界和下确界
  • 非空有上界的集合必有上确界、非空有下界的集合必有下确界

  • 确界定理

  • 【定义】开覆盖
  • 有限覆盖定理(Heine-Borel定理)

  • 六条实数系统连续的等价陈述
    • 单调有界数列必有极限
    • 闭区间套定理
    • 列紧性定理
    • Cauchy收敛原理
    • 确界定理
    • 有限覆盖定理

  • 【定义】上极限和下极限

  • 数列的上(下)极限是它的一切收敛子列的极限所组成的集合中的最大(小)者

  • 上下极限的性质

  • 3 道例题


  • 不同起点开始的子列的上下极限组成的数列

  • Stolz 定理


2. 函数的连续性

  • 集合的映射
  • 集合的势
  • 函数
  • 函数的极限
  • 极限过程其它形式
  • 无穷小与无穷大
  • 连续函数
  • 连续函数的极限计算
  • 函数的一致连续性
  • 有限闭区间上连续函数的性质
  • 函数的上极限和下极限
  • 混沌现象
  • 【定义】映射、定义域、像、值域
  • 【定义】映射的相等
  • 【定义】满射、单射

  • 【定义】一一对应关系
  • 【定义】逆像
  • 【定义】复合
  • 【定义】恒等映射
  • 【定义】结合的等价

  • 【定义】有限集、无限集、可数集、不可数集、至多可数集合
  • 可数集的每一个无限子集都是可数集
  • 至多可数集序列的并集也是至多可数集

  • R 中全体有理数集合是可数的

  • [0, 1] 上的实数集合是不可数的

  • 【定义】函数
  • 【定义】反函数
  • 【定义】递增/递减函数,严格递增/严格递减函数

  • 严格递增函数,反函数必存在,且反函数也严格递增
  • 【定义】函数的极限

  • 函数的极限的性质

  • 夹逼定理
  • 复合函数在某点处有极限的充分条件

  • 函数极限与数列极限的关系定理

  • 函数在某点有极限的充要条件(函数极限的 Cauchy 收敛原理)


  • 【定义】右极限、左极限
  • 函数在某点有极限的充要条件(右极限=左极限)

  • 函数在某点极限的唯一性
  • 函数在某点有极限,则函数在该点近旁有界
  • 函数在某点的大小与函数在某点的极限的大小的关系

  • 黎曼函数在任意一点的极限均为零
  • 函数在x趋于无穷时的极限

  • 自然对数底的极限定义的证明

  • 【定义】无穷大、无穷小
  • 【定义】高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小
  • 【定义】高阶无穷大、同阶无穷大、等价无穷大

  • 不是每个无穷小/无穷大都可以定阶,例如 x->0 时, $x\sin(\frac{1}{x})$
  • 计算极限时,因式形式的无穷小可以用同阶无穷小替换
  • 【定义】大 O,小 o

  • 【定义】函数在 (a, b) 连续的定义

  • 【定义】函数在某点的左连续、右连续、连续
  • 函数连续的性质
  • 复合函数的连续
  • 【定义】f 在 I 上每一点连续,称 f 在 I 上连续,C(I) 表示 I 上全体连续函数

  • 反函数的连续
  • 初等函数
  • 初等函数在定义域上连续

  • 【定义】间断点
    • 第一类间断点
      • 跳跃间断点
      • 可去间断点
    • 第二类间断点
  • 单调函数的间断点

  • 连续函数的极限计算

  • 【定义】一致连续

  • 连续和一致连续的区别

  • 有限闭区间 [a, b] 上连续函数 f 的性质
    • f 在 [a, b] 上一致连续
    • f 在 [a, b] 上有界
    • f 在 [a, b] 上一定能取到最大值和最小值

  • 零值定理

  • 介值定理

  • 【定义】上极限和下极限

  • 上下极限的性质

  • 决定性系统,动力系统
  • 【定义】函数 f 的 n 次迭代

  • 【定义】n-周期点、n-周期轨、不动点





  • 【定义】混沌系统

3. 函数的导数

  • 导数的定义
  • 导数的计算
  • 高阶导数
  • 微分学的中值定理
  • 利用导数研究函数
  • L’Hospital法则
  • 函数作图

  • 【定义】函数 f 在某一点 x 的导数、可导

  • 【定义】左导数、右导数

  • 函数 f 在 x0 可导,则 f 在 x0 处连续
  • 【定义】函数 f 在区间 (a, b)、[a, b] 上的可导
  • 求导的四则运算

  • 链式法则
  • 反函数求导

  • 求导公式

  • 【定义】n 阶导数
  • Leibniz 公式 (复合函数的 n 阶导数)

  • 【定义】极大值、极大值点;极小值、极小值点;极值、极值点
  • Fermat 定理

  • 【定义】驻点
  • Rolle 定理
  • 微分中值定理

  • Lagrange 中值定理
  • Cauchy 中值定理

  • 利用导数研究函数
    • 单调性
    • 极值
    • 凸性




  • 【定义】凸函数、严格凸函数
  • Jenson不等式



  • L’Hospital 法则



  • 函数作图
  • 【定义】拐点
  • 【定义】水平渐近线、竖直渐近线、斜渐近线

4. 一元微分学的顶峰-Taylor定理

  • 函数的微分
  • 带Peano余项的Taylor定理
  • 带Lagrange余项和Cauchy余项的Taylor定理
  • 【定义】函数 f 在点 x 可微,微分

  • f 在点 x 的微分的几何意义

  • 四则运算的微分法则
  • 复合函数的微分公式
  • 微分的形式不变性

  • 【定义】函数 f 在点 x0 处的 n 次 Taylor 多项式
  • 带 Peano 余项的 Taylor 定理

  • f 的 n 次 Maclaurin 多项式

  • 带 Lagrange 余项和 Cauchy 余项的 Taylor 定理

  • 推导线性插值的误差公式


5. 插值与逼近初步

  • Lagrange插值公式
  • 多项式的Bernstein表示
  • Bernstein多项式
  • Lagrange插值公式

  • 【定义】多项式 Pn 的 Bernstein 基底

  • 多项式 p 的 Bernstein 表示、Bernstein 系数
  • 【定义】p 的控制多边形

  • 控制多边形的性质

  • 【定义】函数 f 的 n 次 Bernstein 多项式
  • n 次 Bernstein 算子 Bn

  • Bn 的迭代极限
  • Bn 的磨光性质

6. 求导的逆运算

  • 不定积分
  • 分部积分与换元法
  • 有理函数的原函数
  • 可有理化函数的原函数
  • 【定义】原函数、不定积分
  • 常用函数的不定积分

  • 不定积分的性质
  • 分部积分与换元法

  • 有理函数的原函数

  • 可有理化函数的原函数

7. 函数的积分

  • 积分的概念
  • 可积函数的性质
  • 微积分基本定理
  • 分部积分与换元
  • 可积性理论
  • Lebesgue定理
  • 反常积分(广义积分)
  • 面积原理
  • Wallis公式与Stirling公式
  • 【定义】Riemann可积、Riemann积分、Riemann和
  • Riemann可积函数的性质

  • Newton-Leibniz 公式

  • 积分可加性

  • 积分平均值定理

  • 变上限积分

  • 微积分基本定理

  • 分部积分

  • Taylor 公式的积分余项

  • 换元法

  • 【定义】f 在 [a, b] 的振幅
  • 【定义】上和、下和

  • 【定义】上积分、下积分

  • Darboux 定理

  • f 在 [a, b] 可积的充要条件

  • 闭区间上可积的充分条件
    • f 在 [a, b] 单调,则 f 在 [a, b] 可积
    • f 在 [a, b] 连续,则 f 在 [a, b] 可积

  • 【定义】开覆盖、零测度集

  • 零测集的性质

  • 【定义】f 在 x 处的振幅

  • Lebesgue 定理的 3 个引理

  • Lebesgue 定理



  • Lebesgue 定理的推论
  • 连续,则有原函数
  • 可积不一定有原函数、有原函数不一定可积

  • 【定义】几乎处处连续
  • Lebesgue 定理,Riemann 积分与 Lebesgue 积分

  • Riemann 积分的两个条件:区间有界、函数有界
  • 两个条件对应两种广义积分:无穷积分、瑕积分


  • 面积原理


  • Euler 常数
  • 用面积原理证明不等式
    • Young 不等式
    • Holder 不等式
    • Cauchy-Schwarz 不等式

  • Wallis 公式

  • 斯特林公式


8. 曲线的表示与逼近

  • 参数曲线
  • 曲线的切向量
  • 光滑曲线的弧长
  • 曲率
  • Bezier曲线
  • 【定义】连续曲线、自交的曲线、封闭曲线、曲线的定向

  • 【定义】正则点、奇点、正则曲线、光滑曲线

  • 【定义】光滑曲线的弧长


  • 光滑曲线弧长的计算

  • 弧元微分
  • 【定义】曲率


  • 曲率的计算公式

  • 【定义】Bezier 曲线
  • 【定义】Bezier 曲线的控制点、控制多边形

  • 【定义】凸集、凸包、凸线性组合
  • 凸包性质


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