简明微积分：从零推导理想流体的欧拉方程

摘要: 推导无粘滞流体力学的欧拉方程，参考《简明微积分》

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《简明微积分》

关于微积分和数学分析的好书有很多，本文介绍一本内容安排上比较独特的书，龚昇的《简明微积分》。本书以牛顿-莱布尼茨的微积分基本定理及其高维情形的相应的 Stokes 定理为核心贯穿全书。并且大致沿着历史发展展开。在这条主线下，本书比较强调应用和计算，因此是比较偏高等数学的内容，但是比较高观点，下面是本书内容展开的主要线索：

在文艺复兴之后，科学上对数学提出的各种要求，最后汇总成四个核心问题，最终导致微积分的产生。这四种问题是：运动中速度与距离的互求问题；曲线求切线的问题；求长度、面积、体积与重心的问题；求极大、极小值的问题。

其中第一、二、四个问题引出了微分的概念；第三个问题引出了积分的概念。在解决这些问题的过程中，微分与积分是独立地发展的。经过一百多年酝酿，牛顿、莱布尼茨终于认识到微分与积分是互逆的两个概念。并统一成微积分基本定理。

此后的两百年，由于微积分解决问题的能力，很多以微积分方法为主的分支学科建立起来。但是理论基础并未顾及，进入19世纪后微积分的矛盾迭出，于是才不得不对微积分的基本概念和理论详细分析，通过实数的精确概念和 $\epsilon - \delta$ 方法奠定了基础。

此外，18-19 世纪，单变量的微分、积分均推广到了多变量情形。但把微分和积分作为互逆运算的微积分基本定理如何推广到多变量并不容易。转折出现在 19 世纪末，庞加莱指出多重积分的体积元应该有一个正负定向，这一看似简单的看法使得多重积分在坐标变换下原有的那些冗长的变换公式，有了一个精炼的形式。

庞加莱的关于体积元有定向的观点，导致了外微分形式的出现，相关理论由 Frobenius 等人发展，最终原来以 Green、Gauss 等命名的不同形式的定理，统一推广成了简明的 Stokes 公式：

$$\int_{D}\mathrm{d}\omega = \int_{\partial D}\omega$$

其中 $\omega$ 是外微分形式，$D$ 是一个定向区域，$\mathrm{d}$ 是外微分运算记号，$\partial$ 是区域的边界。

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如果以前学过大学数学或考研数学中的数学分析或者高等数学，那么本书中的大部分内容都是学过的，不过下面这些是本书中比较独特的的内容，可以看一下：

• 对一些物理应用做了详细介绍，比如在 3-2 节详细介绍了通过上升下降、凹凸、渐近线等对函数曲线进行描绘；在 4-2 节的二阶微分方程中，对质点振动做了非常详细的讨论；
• 6-3 阐述了面积元素、体积元素以及雅可比行列式，并且发现了积分的换元法与复合函数的微分法实际是一回事，只是一个用的积分形式，一个用的微分形式；
• 7-5 阐述了全微分，以及相关的有势场、管形场；7-6 详细介绍了外微分形式及其运算、庞加莱引理及其逆、以及多变量微积分的基本定理；
• 8-2 介绍了一些物理中的一些著名公式的推导，包括流体动力学的完全方程组；声音的传播的波动方程；
• 9-3-2 中详细推导了可积相关的一些定理，最终是关于可积性最重要的 Lebesgue 定理，彻底解决了有限区间上的函数什么时候黎曼可积的问题；
• 10-2 中基于函数项级数理论，证明了隐函数存在定理以及常微分方程解的存在性唯一性；类似地，用迭代法以及函数项级数的一致收敛性还可以证明积分方程、微分方程组、偏微分方程的解的存在性唯一性等；
• 10-3 介绍了通过级数求解隐函数的例子，并且推导了拉格朗日级数；
• 10-4 介绍了使用积分第二中值定理证明无穷积分的 Dirichlet 判别法和 Abel 判别法，这种无穷积分类似于数项级数，以及类似于初等函数相加可以产生新函数，对初等函数的积分也能产生新函数，也就是含参变量的积分类似于函数项级数，本节证明了通过含参变量积分定义的新函数的一些性质；
• 10-4 也对含参变量的无穷积分的性质进行了推导，并计算了几个重要的无穷积分：Dirichlet积分、Fresnel积分、Gamma函数和Beta函数的部分性质；
• 11-1 证明了傅里叶级数中的 Bessel 不等式、Riemann-Lebesgue定理，并用 Riemann-Lebesgue 定理推导出傅里叶级数的收敛条件；
• 11-2 推导了将傅里叶级数推广到傅里叶积分的过程（只是形式上的推导，没有讨论收敛条件）。最后简要提了一下高维傅里叶变换。

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上面是对这本书的简介，书籍资源如下：

• 简明微积分

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本书作者龚昇老师已经去世了，因此本书应该不会再有新版了。

本文我们参考本书内容，从基本的牛顿运动定律和微积分出发，推导出欧拉的无粘滞流体力学的欧拉方程，致敬这本书。

可压缩流体的连续性方程

假定流体连续地充满某一区域 $V$，并假定为无源场。流体密度可以依赖于时间、地点而变化，即是可压缩的流体。记 $\rho = \rho(x, y, z, t)$ 是流体的密度，$\vec{n}$ 是曲面 $S$ 的外法线单位向量，$\vec{v} = (u, v, w)$ 是流体的速度。

另一方面，从 $V$ 内流体的总质量考虑，在时间 $\mathrm{d}t$ 内，密度的改变量为 $\frac{\partial\rho}{\partial t}\mathrm{d}t$，体积元素 $\mathrm{d}V$ 的质量 $\rho\mathrm{d}V$ 的改变量为 $\frac{\partial\rho}{\partial t}\mathrm{d}t\mathrm{d}V$，因此整个 $V$ 的流体量的改变量为：

$$\mathrm{d}t\iiint\limits_{V}\frac{\partial\rho}{\partial t}\mathrm{d}V$$

这是 $\mathrm{d}t$ 时间内流进的流量，那么单位时间内流出的流量 $Q$ 就等于：

$$Q = - \mathrm{d}t\iiint\limits_{V}\frac{\partial\rho}{\partial t}\mathrm{d}V$$

因此：

$$\iint\limits_{S}\rho\vec{v}\cdot\vec{n}\mathrm{d}S + \mathrm{d}t\iiint\limits_{V}\frac{\partial\rho}{\partial t}\mathrm{d}V = 0$$

高斯公式

设 $V$ 是空间封闭的曲面 $\Sigma$ 所围成的闭区域，函数 $P(x, y, z)$、$Q(x, y, z)$、$R(x, y, z)$ 在 $V$ 上有一阶连续偏导数，则：

$$\int\kern{-8pt}\int\limits_{\Sigma} \kern{-23mu} \bigcirc P\mathrm{d}y\mathrm{d}z + Q\mathrm{d}z\mathrm{d}x + R\mathrm{d}x\mathrm{d}y = \iiint\limits_{V}(\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial P}{\partial x})\mathrm{d}V$$

其中 $\Sigma$ 的定向为法线向外

由高斯公式，即得：

$$\iiint\limits_{V}(\mathrm{div} \rho\vec{v} + \frac{\partial \rho}{\partial t})\mathrm{d}V = 0$$

上式对于 $V$ 内任何一点都成立，因此由积分中值定理得到流体力学的连续性方程：

$$\mathrm{div} \rho\vec{v} + \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0$$

理想流体的运动方程

下面假设流体无粘滞性，即理想流体，来考虑它的运动方程。

设物体的运动取决于内力和外力，考虑最简单的情形：外力与质量成正比，记 $F$ 为作用在一单位质量上的压力，也就是 $V$ 的边界曲面 $S$ 上所受的压力，$S$ 外法线的方向余弦记为：

$$(\cos \lambda, \cos\mu, \cos\nu)$$

曲面元素 $\mathrm{d}S$ 上所作用的力在坐标轴上的投影等于：

$$-p\cos\lambda\mathrm{d}S, -p\cos\mu\mathrm{d}S, -p\cos\nu\mathrm{d}S$$

这里 $p$ 是单位面积上所受的压力，因此，作用在 $V$ 上的力等于矢量：

$$(-\iint\limits_{S}p\cos\lambda\mathrm{d}S, -\iint\limits_{S}p\cos\mu\mathrm{d}S, -\iint\limits_{S}p\cos\nu\mathrm{d}S)$$

由高斯公式，即为：

$$(-\iiint\limits_{V}\frac{\partial p}{\partial x}\mathrm{d}V, -\iiint\limits_{V}\frac{\partial p}{\partial y}\mathrm{d}V, -\iiint\limits_{V}\frac{\partial p}{\partial z}\mathrm{d}V)$$

也就是加在 $\mathrm{d}V$ 上的力是：

$$-(\frac{\partial p}{\partial x}\mathrm{d}V, \frac{\partial p}{\partial y}\mathrm{d}V, \frac{\partial p}{\partial z}\mathrm{d}V) = -\mathrm{d}V \nabla p$$

由牛顿第二定律，将单位质量上的外力 $F$，以及上面的内力代入，得：

$$\rho\mathrm{d}V\mathbf{a} = \rho\mathrm{d}V\mathbf{F} - \mathrm{d}V\nabla p$$

化简后得到：

$$\frac{\mathrm{d}^{2}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t^{2}} = \mathbf{a} = \mathbf{F} - \frac{1}{\rho}\nabla p$$

这就是理想流体的运动方程。

欧拉方程

考虑位置 $\mathbf{r} = (x, y, z)$ 和速度 $\mathbf{v} = (u, v, w)$，位置和速度均与时间 $t$ 有关，其中 $u = \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}$，$v = \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}$，$w = \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}$，所以：

$$\begin{align} \frac{\mathrm{d}^{2}x}{\mathrm{d}t^{2}} = \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t} &= \frac{\partial u}{\partial t} + \frac{\partial u}{\partial x}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t} + \frac{\partial u}{\partial y}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} + \frac{\partial u}{\partial z}\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}\\ &= \frac{\partial u}{\partial t} + \frac{\partial u}{\partial x}u + \frac{\partial u}{\partial y}v + \frac{\partial w}{\partial z}z \\ \end{align}$$

类似地可以推出：

$$\frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}t^{2}} = \frac{\partial v}{\partial t} + \frac{\partial v}{\partial x}u + \frac{\partial v}{\partial y}v + \frac{\partial v}{\partial z}w \\ \frac{\mathrm{d}^{2}z}{\mathrm{d}t^{2}} = \frac{\partial w}{\partial t} + \frac{\partial w}{\partial x}u + \frac{\partial w}{\partial y}v + \frac{\partial w}{\partial z}w \\$$

如果 $\mathbf{F} = (F_{x}, F_{y}, F_{z})$，则运动方程可以写为：

$$\left\{ \begin{array}{**lr**} \frac{\partial u}{\partial t} + \frac{\partial u}{\partial x}u + \frac{\partial u}{\partial y}v + \frac{\partial u}{\partial z}w = F_{x} - \frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x} \\ \frac{\partial v}{\partial t} + \frac{\partial v}{\partial x}u + \frac{\partial v}{\partial y}v + \frac{\partial v}{\partial z}w = F_{y} - \frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial y} \\ \frac{\partial w}{\partial t} + \frac{\partial w}{\partial x}u + \frac{\partial w}{\partial y}v + \frac{\partial w}{\partial z}w = F_{z} - \frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial z} \\ \end{array} \right.$$

化简后，得到最终的欧拉方程，这本质上还是理想流体的运动方程：

$$\frac{\partial\mathbf{v}}{\partial t} + (u\frac{\partial}{\partial x} + v\frac{\partial}{\partial y} + w\frac{\partial}{\partial z})\mathbf{v} = \mathbf{F} - \frac{1}{\rho}\nabla p \\$$

即：

$$\frac{\partial\mathbf{v}}{\partial t} + (\mathbf{v}\cdot\nabla)\mathbf{v} = \mathbf{F} - \frac{1}{\rho}\nabla p \\$$

流体力学的完全方程组

前面推到了，流体的速度 $\mathbf{v} = (u, v, w)$，压力 $p$，以及密度 $\rho$ 适合于：

$$\left\{ \begin{array}{**lr**} \frac{\mathrm{d}^{2}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t^{2}} = \mathbf{a} = \mathbf{F} - \frac{1}{\rho}\nabla p \quad\quad (连续性方程)\\ \frac{\partial\mathbf{v}}{\partial t} + (\mathbf{v}\cdot\nabla)\mathbf{v} = \mathbf{F} - \frac{1}{\rho}\nabla p \quad\quad (运动方程)\\ \end{array} \right.$$

这里有 5 个未知量，方程只有 4 个。剩下的一个是压力 $p$ 与密度之间的关系 $\rho$ 之间的物态方程（比如理想气体状态方程）：

$$p = f(\rho)$$

无粘滞流体的连续性方程、理想流体的运动方程以及物态方程。共同组成了流体力学的完全方程组。

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