一个有概率背景的抽象不等式，积分中值定理的应用

摘要: 积分中值定理主线梳理

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本文我们来看一个抽象不等式。该不等式描述了一类随机变量 $X$ 的期望的一个下界：如果 $X$ 的取值范围为 $[a, b]$，概率密度函数 $g(x)$ 在 $[a, b]$ 单调递增，那么 $EX$ 的下界是 $[a, b]$ 上的均匀分布的数学期望 $\frac{a + b}{2}$。

证明该抽象不等式主要用到了积分第二中值定理。因此本文我们先梳理一下积分中值定理的主线，积分第二中值定理的证明过程非常精彩，可以欣赏一下。

积分中值定理，不等式形式

定理（积分中值定理不等式形式）

如果 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 可积，其中 $a < b$，并且在 $[a, b]$ 上有 $m \leq f(x) \leq M$，则：

$$m(b-a) \leq \int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x \leq M(b-a)$$

证明

将 $m$，$M$ 视为常值函数，对 $m \leq f(x) \leq M$ 的各项均在 $[a, b]$ 积分：

$$\int_{a}^{b}m\mathrm{d}x \leq \int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x \leq \int_{a}^{b}M\mathrm{d}x$$

整理后得：

$$m(b-a) \leq \int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x \leq M(b-a)$$

$\Box$

积分中值定理，等式形式

将积分中值定理的不等式形式改为等式形式，可以取消 $a < b$ 的限制。

定理（积分中值定理，等式形式）

如果 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 可积，并且在 $[a, b]$ 上有 $m \leq f(x) \leq M$，则存在 $\mu \in [m, M]$，使得：

$$\int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x = \mu(b - a)$$

证明

如果 $a < b$，则由积分中值定理的不等式形式，有：

$$m(b-a) \leq \int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x \leq M(b-a)$$

因此：

$$m \leq \frac{1}{b - a}\int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x \leq M$$

令 $\mu = \frac{1}{b - a}\int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x$ 即可。

$\Box$

定理中 $f(x)$ 的条件是可积，如果 $f(x)$ 连续，则等式中的 $\mu$ 可以写成存在 $c \in [a, b]$ 使得 $\int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x = f(c)(b - a)$。

推广积分中值定理

定理（推广积分中值定理）

设 $f(x), g(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上可积，且在 $[a, b]$ 上有 $m \leq f(x) \leq M$，$g(x)$ 在 $[a, b]$ 上不变号（即 $g(x) \leq 0$ 或 $g(x) \geq 0$），则存在 $\mu \in [m, M]$，使得：

$$\int_{a}^{b}f(x)g(x)\mathrm{d}x = \mu\int_{a}^{b}g(x)\mathrm{d}x$$

证明

假设 $g(x) \geq 0$，$a < b$，此时有：

$$mg(x) \leq f(x)g(x) \leq Mg(x)$$

对上式各项在 $[a, b]$ 积分，得：

$$m\int_{a}^{b}g(x)\mathrm{d}x \leq \int_{a}^{b}f(x)g(x)\mathrm{d}x \leq M\int_{a}^{b}g(x)\mathrm{d}x$$

由 $g(x) \geq 0$，有 $\int_{a}^{b}g(x)\mathrm{d}x \geq 0$。

若该积分 $\int_{a}^{b}g(x)\mathrm{d}x$ 为 $0$，那么 $\int_{a}^{b}f(x)g(x)\mathrm{d}x$ 自然也为 $0$。定理内容成立。

若该积分 $\int_{a}^{b}g(x)\mathrm{d}x$ 大于 $0$，那么可以在上述不等式各项同时除以该积分，得到：

$$m \leq \frac{\int_{a}^{b}f(x)g(x)\mathrm{d}x}{\int_{a}^{b}g(x)\mathrm{d}x} \leq M$$

令 $\mu = \frac{\int_{a}^{b}f(x)g(x)\mathrm{d}x}{\int_{a}^{b}g(x)\mathrm{d}x}$ 即可。

积分上下限互换，以及 $g(x)$ 符号改变不破坏等式，因此 $b < a$ 以及 $g(x) \leq 0$ 时也成立。

$\Box$

定理中 $f(x)$ 的条件是可积，如果 $f(x)$ 连续，则等式中的 $\mu$ 可以写成存在 $c \in [a, b]$ 使得 $\int_{a}^{b}f(x)g(x)\mathrm{d}x = f(c)\int_{a}^{b}g(x)\mathrm{d}x$。

积分第二中值定理

在推广积分中值定理中，讨论的是两个函数乘积的积分 $I = \int_{a}^{b}f(x)g(x)\mathrm{d}x$。关于这个积分还可以继续讨论，如果 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 的条件由可积和有界加强为单调，得到的结论称为积分第二中值定理，这也是本文的主要内容。

该定理的证明比较长，并且不像前面那样直观，下面的证明参考菲赫金哥尔茨《微积分学教程》，关键步骤加粗了，技巧性很强，主要作为欣赏即可。

定理（积分第二中值定理）

$f(x)$ 在 $[a, b]$ 上单调递减，且 $f(x) \geq 0$，$g(x)$ 可积，则：

$$\int_{a}^{b}f(x)g(x)\mathrm{d}x = f(a)\int_{a}^{\xi}g(x)\mathrm{d}x$$

证明

用分点 $x_{i}, i=0,1,\cdots,n$ 把 $[a,b]$ 分成 $n$ 份，其中 $a = x_{0}, b = x_{n}$，这样 $I$ 可以表示成：

$$\begin{align} I &= \sum\limits_{i=0}\limits^{n-1}\int_{x_{i}}^{x_{i+1}}f(x)g(x)\mathrm{d}x \\ &= \sum\limits_{i=0}\limits^{n-1}\int_{x_{i}}^{x_{i+1}}(f(x) - f(x_{i}) + f(x_{i}))g(x)\mathrm{d}x \\ &= \sum\limits_{i=0}\limits^{n-1}\int_{x_{i}}^{x_{i+1}}f(x_{i})g(x)\mathrm{d}x + \sum\limits_{i=0}\limits^{n-1}\int_{x_{i}}^{x_{i+1}}(f(x) - f(x_{i}))g(x)\mathrm{d}x \\ \end{align}$$

这样将 $I$ 分为两部分，$\sigma = \sum\limits_{i=0}\limits^{n-1}\int_{x_{i}}^{x_{i+1}}f(x_{i})g(x)\mathrm{d}x$，$\rho = \sum\limits_{i=0}\limits^{n-1}\int_{x_{i}}^{x_{i+1}}(f(x) - f(x_{i}))g(x)\mathrm{d}x$。

记 $L$ 为函数 $|g(x)|$ 的上界，$\omega_{i}$ 表示长度为 $\Delta x_{i}$ 的第 $i$ 个区间 $[x_{i}, x_{i+1}]$ 上函数 $f(x)$ 的振幅，则有：

$$|\rho| \leq \sum\limits_{i=0}\limits^{n-1}\int_{x_{i}}^{x_{i+1}}|f(x) - f(x_{i})||g(x)|\mathrm{d}x \leq L\sum\limits_{i=0}\limits^{n-1}\omega_{i}\Delta x_{i}$$

由于闭区间上的单调函数有界，因此 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 有界。

进一步由于单调有界函数是可积的，因此 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 可积。因此 $\lambda = \max \Delta x_{i} \rightarrow 0$ 时，$\rho \rightarrow 0$。于是：

$$I = \lim\limits_{\lambda\rightarrow 0}\sigma$$

引入变上限积分函数 $G(x) = \int_{a}^{x}g(t)\mathrm{d}t$，然后 $\sigma$ 可以重写为：

$$\begin{align} \sigma &= \sum\limits_{i=0}\limits^{n-1}f(x_{i})\int_{x_{i}}^{x_{i+1}}g(x)\mathrm{d}x \\ &= \sum\limits_{i=0}\limits^{n-1}f(x_{i})[G(x_{i+1}) - G(x_{i})] \\ \end{align}$$

展开后重新加括号，整理后得：

$$\sigma = \sum\limits_{i=0}\limits^{n-1}G(x_{i})[f(x_{i-1}) - f(x_{i})] + G(b)f(x_{n-1})$$

由变上限积分函数的性质，$f(x)$ 可积，因此 $G(x) = \int_{a}^{x}g(t)\mathrm{d}t$ 连续。

由于闭区间上的连续函数有界，因此当 $x$ 在区间 $[a, b]$ 上变化时，$G(x)$ 有最小值 $m$ 和最大值 $M$。

由于 $f(x)$ 单调递减，因此 $f(x_{i-1}) - f(x_{i}) \geq 0$；由于 $f(x)$ 非负，因此 $f(x_{n-1}) \geq 0$。

将所有 $G$ 的值都放缩为 $m$ 和 $M$，得：

$$mf(a)\leq \sigma \leq Mf(a)$$

那么 $I = \lim\limits_{\lambda\rightarrow 0}\sigma$ 自然也有：

$$mf(a)\leq I \leq Mf(a)$$

若 $f(a) = 0$，由于 $f(x)$ 单调递减，$f(x)$ 在 $[a, b]$ 恒为 0，待证的等式自然成立。。

若 $f(a) > 0$，则可以令 $\mu = \frac{I}{f(a)}$，即得 $m \leq \mu \leq M$。又因为 $G(x)$ 连续，由介值定理，存在 $\xi \in [a, b]$ 使得 $\mu = G(\xi)$。此时：

$$I = f(a)G(\xi)$$

这正是待证的等式：

$$\int_{a}^{b}f(x)g(x)\mathrm{d}x = f(a)\int_{a}^{\xi}g(x)\mathrm{d}x$$

$\Box$

类似地，如果 $f(x)$ 单调递增，且仍然非负，那么有：

$$\int_{a}^{b}f(x)g(x)\mathrm{d}x = f(b)\int_{\xi}^{b}g(x)\mathrm{d}x$$

如果不要求 $f(x)$ 的非负性，保留单调递减的要求。则 $f(x) - f(b) \geq 0$，将 $f(x) - f(b)$ 代入前面的定理，整理后有：

$$\int_{a}^{b}f(x)g(x)\mathrm{d}x = f(a)\int_{a}^{\xi}g(x)\mathrm{d}x + f(b)\int_{\xi}^{b}g(x)\mathrm{d}x$$

$f(x)$ 单调递增的情况也是以上公式。

一个有概率背景的不等式

设 $f$ 在区间 $[a, b]$ 上连续且单调递增，则：

$$\int_{a}^{b}xf(x)\mathrm{d}x \geq (\frac{a+b}{2})\int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x$$

证明

作差，于是我们要证明的是：

$$\int_{a}^{b}(x - \frac{a + b}{2})f(x)\mathrm{d}x \geq 0$$

由于 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 单调递增，$x - \frac{a+b}{2}$ 可积，因此可以对 $\int_{a}^{b}(x - \frac{a + b}{2})f(x)\mathrm{d}x$ 使用积分第二中值定理，存在 $\xi \in [a, b]$ 使得：

$$\int_{a}^{b}f(x)(x - \frac{a + b}{2})\mathrm{d}x = f(a)\int_{a}^{\xi}(x - \frac{a + b}{2})\mathrm{d}x + f(b)\int_{\xi}^{b}(x - \frac{a + b}{2})\mathrm{d}x$$

由于 $f(x)$ 单调递增，因此 $f(b) \geq f(a)$，因此：

$$\begin{align} \int_{a}^{b}f(x)(x - \frac{a + b}{2})\mathrm{d}x &\geq f(a)(\int_{a}^{\xi}(x - \frac{a + b}{2})\mathrm{d}x + \int_{\xi}^{b}(x - \frac{a + b}{2})\mathrm{d}x) \\ &= f(a)\int_{a}^{b}(x - \frac{a + b}{2})\mathrm{d}x \\ &= f(a)(\frac{b^{2} - a^{2}}{2} - \frac{a + b}{2}(b - a)) \\ &= 0 \end{align}$$

$\Box$

概率解释

如果 $f$ 在 $[a, b]$ 上增加非负的条件，则可以从概率的角度理解该不等式。将原不等式变形，写为：

$$\int_{a}^{b}x\frac{f(x)}{\int_{a}^{b}f(t)\mathrm{d}t}\mathrm{d}x \geq \frac{a+b}{2}$$

上式的含义是，有一个随机变量 $X$ 具有概率密度函数 $g(x) = \frac{f(x)}{\int_{a}^{b}f(t)\mathrm{d}t}$，如果 $g(x)$ 单调递增，那么 $X$ 的数学期望大于等于 $\frac{a+b}{2}$。

这样解释的话，这个不等式还是比较直观的。因为 $[a,b]$ 的均匀分布的期望为 $\frac{a + b}{2}$，而概率密度函数单调递增的话，直观理解就是从均匀分布的左边拿了一部分密度放到了右边，$X$ 的取值出现在右边的概率变大，那期望自然也会往右边移动，自然就有 $EX \geq \frac{a + b}{2}$。

总结

本文我们讨论了一个看起来很抽象的不等式，通过引入复杂的积分第二中值定理才解决。但是从概率角度理解该不等式却非常直观，一点也不抽象。这也体现了概率方法的威力。

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