数学建模知识体系

摘要: 介绍三本数学建模方面的书

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数学是和数学建模一直是相伴而发展起来的。数学建模就是把要研究或要解决的问题用数学语言表达出来，主要是选择变量及确定变量间的关系。数学建模是在实际问题和数学之间架设一座桥梁，使得可以用数学分析、计算的各种方法、手段工具以及计算机编程来解决实际问题。

数学建模包含的内容太多，这里给出几本微信读书上有的书，内容有重合，有需要的时候可以参考一下。

(0) 理论基础

数学建模，简单来说就是用计算机和数学知识来解决实际问题。

算法分类

数学建模算法非常之多，大体上可以分为八类：

• 规划模型线性规划

整数规划、非线性规划、目标规划、二次规划、多目标规划、动态规划等。

• 评价模型

层次分析法、模糊综合评价、熵权法、TOPSIS法、灰色关联分析、秩和比法、数据包络分析等。

• 预测模型

回归模型、曲线拟合、灰色预测、时间序列分析、（隐）马尔可夫预测等。

• 动态模型

微分方程模型、差分方程模型、偏微分方程模型、蒙特卡罗模拟、元胞自动机、排队论等。

• 图论

最短路径、最小生成树、最小费用最大流、指派问题、旅行商问题、社会网络分析等。

• 统计分析

分布检验、T检验、方差/协方差分析、相关分析、卡方检验、秩和检验、回归分析、结构方程、聚类分析、判别分析等。

• 智能优化算法

模拟退火、遗传算法、蚁群算法、粒子群算法等。

• 机器学习算法

正则化回归、Logistic回归、决策树、随机森林、XGBoost、神经网络、支持向量机、主题模型、关联分析、深度学习等。

流程

• 问题提出
• 明确问题
• 模型假设
• 建立模型
• 模型求解
• 结果分析
• 总结汇报

(1) 数学建模

图论模型

• 独立集
• 竞赛图
• 最短路径
• 最小生成树
• 匹配

概率统计模型

• 蒙特卡洛模型
• 马尔科夫模型
• 逻辑回归模型
• 聚类分析模型

动态模型

• 差分方程
• 常微分方程
• 常微分方程组
• 偏微分方程

优化模型

• 微积分优化
• 线性规划
• 整数规划
• 非线性规划
• 变分优化
• 优化计算

评价模型

• 层次分析
• 灰色关联
• TOPSIS理想点
• 主成分分析

(2) 数学建模

优化模型

• 线性规划
• 非线性规划
• Lingo
• 整数规划
• 多目标规划
• 序贯式算法
• 动态规划

图与网络

• 最短路径
• 旅行商
• 网络流

评价管理

• 层次分析
• 灰色关联
• Topsis理想点
• 主成分分析
• 几类经典评价体系

预测模型

• 多项式拟合
• 非多项式拟合
• 灰色预测
• 时间序列

微分与差分方程

• 传染病传播
• 药物动力学
• 污染物传播
• 传播数学模型
• 马尔科夫数学模型
• L矩阵差分方程数学模型

随机服务系统

• 输入过程
• 排队规则
• 服务机构

统计分析

• 聚类分析
• 回归分析
• 相关分析
• 判别分析
• 方差分析

启发式算法

• 遗传算法
• 网格搜索
• 粒子群

(3) 数学建模教程

微分方程

• 常微分方程
• 差分方程
• 稳定性方法
• 偏微分方程

优化问题

• 运输问题
• 转运问题
• 选址问题
• 指派问题
• 最短路问题
• 最大流问题
• 最小费用最大流
• 最小生成树
• 旅行商
• 交巡警服务平台调度

统计分析

• 一元线性回归
• 多元线性回归
• 聚类分析
• 判别分析
• 因子分析

现代优化方法

• 遗传算法
• 粒子群算法
• 蒙特卡洛算法
• 神经网络
• 模拟退火

(4) 数学建模：算法与编程实现

1. 微分方程模型

人口模型

• Malthus人口模型
• Logistic人口模型
• Leslie模型

传染病模型

• SI/SIS模型
• SIR模型
• 舱室模型

2. 优化模型

规划模型

• 线性规划（生产计划）
• 整数规划（运输问题）
• 非线性规划
• 目标规划

投资优化

• 二次规划
• 多目标规划
• 马尔维茨均值方差模型

优化建模技巧

• 处理特殊目标函数
• 处理特殊约束
• 分段线性函数建模

3. 评价模型

经典评价模型

• 数据指标预处理
  • 指标的一致性处理
  • 指标的无量纲化处理
  • 定性指标的量化
• 主客观赋权法
  • 层次分析法
  • 熵权法
  • 主成分法
  • 动态加权法
• 理想解法
• 数据包络分析
  • DEA概念
  • CCR模型
  • BCC模型
  • 带非期望产出的SBM模型

模糊理论

• 模糊理论基础
• 模糊评价
• 灰色关联分析

4. 预测模型

常规预测模型

• 线性回归
• 非线性回归
• 广义线性模型
• 灰色预测

时间序列分析

• 确定性分解
• 指数平滑
  • 简单指数平滑
  • Holt线性指数平滑
  • Holt-Winters季节指数平滑
• SARIMA模型
• GARCH模型

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(5) 数学建模方法与分析

• 数学建模方法与分析

1. 最优化模型

单变量最优化

• 五步方法
• 灵敏性分析
• 灵敏性与稳健性

多变量最优化

• 无约束最优化
• 拉格朗日乘子
• 灵敏性分析与影子价格

最优化计算方法

• 单变量最优化
• 多变量最优化
• 线性规划
• 离散最优化

2. 动态模型

动态模型介绍

• 定常态分析
• 动力系统
• 离散时间的动力系统

动态模型分析

• 特征值方法
• 离散系统的特征值方法
• 相图

动态模型的模拟

• 模拟简介
• 连续时间模型
• 欧拉方法
• 混沌与分形

3. 概率模型

概率模型简介

• 离散概率模型
• 连续概率模型
• 统计学简介
• 扩散

随机模型

• 马尔可夫链
• 马尔可夫过程
• 线性回归
• 时间序列

概率模型的模拟

• 蒙特卡罗模拟
• 马尔可夫性质
• 解析模拟
• 粒子追踪
• 分数阶扩散

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(6) 数学建模33讲：数学与缤纷的世界

话题1：日常生活中的等差数列和等比数列
话题2：二次和三次函数样条与数据的插值
话题3：指数函数与对数函数的普适价值
话题4：三角函数与极小曲面
话题5：概率的加法与乘法原理、加权平均的递推
话题6：解析几何与带标签数据的模糊线性分类
话题7：进制观点下的分类、距离与解析
话题8：迭代预测的测不准原理与熵距
话题9：数据直径、凸集及荣格定理
话题10：欧式几何与离散几何的桥梁——皮克定理及其应用
话题11：暗室与艺廊——平面几何与照明
话题12：纽结与琼斯多项式
话题13：同余、解析几何与随机数生成器
话题14：井盖、滚木与等宽图形
话题15：自平衡支架的设计与星形线
话题16：连分式、计算的自动修正和超越数
话题17：黑暗森林法则与社会契约
话题18：太空牵引飞船的行驶守则
话题19：弓形面积计算的几何方法与“弦切定比”曲线
话题20：直方图均衡化与图片去雾霾
话题21：曲线的受控形变、贝塞尔曲线与贝塞尔变换
话题22：沃罗诺伊图与狄利克雷自由变形
话题23：动力系统的周期解与生态循环
话题24：带有地域迁徙的传染病模型
话题25：相似三角形与城墙长度估测
话题26：水面映字与半球映射
话题27：复数的几何意义、共形变换与图片扫描
话题28：再谈艺廊摄像头问题——二重监控
话题29：Sigmoid函数与万有逼近定理
话题30：流方法、曲线和曲面的镶嵌
话题31：社会发展与二八定律
话题32：墨菲定律与行业创新的推动策略
话题33：概率对决策的影响——确定性的丧失与均衡的建立

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