摘要: 严谨的微积分,经典力学的建立
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在微积分方面,从入门到进阶,国内国外经典的书非常多。本文介绍的一本是相对高阶的,Lynn H. Loomis 的《高等微积分》。它的特色有三块,一个是在多元微积分上与线性代数结合的比较好,一个是用了很多现代分析的观点,还要一个就是基于微积分比较严谨地建立经典力学,包括哈密顿力学、拉格朗日力学。
《高等微积分》是“丘成桐主编数学翻译丛书”中的一本,是哈佛大学的高等微积分教材,内容涵盖了从基本的向量空间概念到经典力学基本定理,包括多元微积分、外微分、微分形式的积分等。
本书用了很多现代分析的观点处理微积分。主要特点是作者从拓扑-几何的观点来写微积分,用更现代的方式讲线性代数,把线性代数与微积分紧密地结合起来,这顺应了当代数学“拓扑几何与分析结合”的发展潮流。
不过本书翻译的不太好,容易看得一头雾水,如果遇到看不懂的地方,作者提供了英文版可以参考:
第零章 导引
- 0.1 逻辑: 量词
- 0.2 逻辑连接词
- 0.3 量词的否定
- 0.4 集合
- 0.5 限制变量
- 0.6 序对与关系
- 0.7 函数与映射
- 0.8 积集; 指标记号
- 0.9 合成
- 0.10 对偶性
- 0.11 布尔运算
- 0.12 分拆与等价关系
第一章 向量空间
- 1.1 基本概念
- 1.2 向量空间与几何
- 1.3 积空间与 Hom(V,W)
- 1.4 仿射子空间与商空间
- 1.5 直和
- 1.6 线性性
第二章 有限维向量空间
- 2.1 基
- 2.2 维数
- 2.3 对偶空间
- 2.4 矩阵
- 2.5 迹与行列式
- 2.6 矩阵计算
- *2.7 二次型的对角化
第三章 微分学
- 3.1 回顾 R 中的情形
- 3.2 范数
- 3.3 连续性
- 3.4 等价的范数
- 3.5 无穷小
- 3.6 微分
- 3.7 方向导数; 中值定理
- 3.8 微分与积空间
- 3.9 微分和 Rn
- 3.10 初步应用
- 3.11 隐函数定理
- 3.12 子流形和拉格朗日乘子
- *3.13 函数相关性
- *3.14 一致连续性和取函数为值的映射
- *3.15 变分法
- *3.16 二阶微分和判别点的分类
- *3.17 高阶微分; 泰勒公式
第四章 紧性和完备性
- 4.1 度量空间; 开集和闭集
- *4.2 拓扑
- 4.3 序列的收敛性
- 4.4 列紧性
- 4.5 紧性和一致性
- 4.6 等度连续性
- 4.7 完备性
- 4.8 巴拿赫代数初探
- 4.9 压缩映射不动点定理
- 4.10 参数弧的积分
- 4.11 复数系
- *4.12 弱方法
第五章 内积空间
- 5.1 内积 (纯量积)
- 5.2 交投影
- 5.3 自伴变换
- 5.4 正交变换
- 5.5 紧变换
第六章 微分方程
- 6.1 基本定理
- 6.2 对参数的可微依赖性
- 6.3 线性方程
- 6.4 n 阶线性方程
- 6.5 解非齐次方程
- 6.6 边值问题
- 6.7 傅里叶级数
第七章 多重线性泛函
- 7.1 线性泛函
- 7.2 多重线性泛函
- 7.3 置换
- 7.4 换的符号
- 7.5 交错张量子空间 an
- 7.6 行列式
- 7.7 外代数
- 7.8 内积空间的外幂
- 7.9 星号算子
第八章 积分
- 8.1 引言
- 8.2 公理
- 8.3 矩形和可铺集合
- 8.4 极小理论
- 8.5 极小理论 (续) 362
- 8.6 可度集合
- 8.7 何时可度?
- 8.8 在线性畸变下的行为
- 8.9 积分的公理
- 8.10 可度函数的积分
- 8.11 换元公式
- 8.12 累次积分
- 8.13 绝对可积函数
- 8.14 问题汇编: 傅里叶变换
第九章 微分流形
- 9.1 总图表
- 9.2 函数, 收敛性
- 9.3 微分流形
- 9.4 切空间
- 9.5 流与向量场
- 9.6 李导数
- 9.7 线性微分形式
- 9.8 用坐标计算
- 9.9 黎曼度量
第十章 流形上的积分学
- 10.1 紧性
- 10.2 1 的分解
- 10.3 密度
- 10.4 黎曼度量的体积密度
- 10.5 密度的拉回和它的李导数
- 10.6 散度定理
- 10.7 更加复杂的区域
第十一章 外微积分
- 11.1 外微分形式
- 11.2 定向流形和外微分形式的积分
- 11.3 算子 d
- 11.4 斯托克斯定理
- 11.5 斯托克斯定理的一些例示
- 11.6 微分形式的李导数
- 附录Ⅰ “向量分析”
- 附录Ⅱ E3 中曲面的初等微分几何
第十二章 E^n 中的位势理论
- 12.1 立体角
- 12.2 格林公式
- 12.3 极大值原理
- 12.4 格林函数
- 12.5 泊松积分公式
- 12.6 泊松积分公式的推论
- 12.7 哈纳克定理
- 12.8 次调和函数
- 12.9 狄利克雷问题
- 12.10 边界附近的行为
- 12.11 狄利克雷原理
- 12.12 物理应用
- 12.13 问题汇编: 留数计算
第十三章 经典力学
- 13.1 切丛和余切丛
- 13.2 变分方程
- 13.3 T∗(M) 上的基本线性微分形式
- 13.4 T∗(M) 上的基本外 2 - 形式
- 13.5 哈密顿力学
- 13.6 中心力问题
- 13.7 二体问题
- 13.8 拉格朗日方程
- 13.9 变分原理
- 13.10 测地坐标
- 13.11 欧拉方程
- 13.12 刚体运动
- 13.13 小振动
- 13.14 小振动(续)
- 13.15 典型变换