高等微积分-严谨地建立经典力学

摘要: 严谨的微积分，经典力学的建立

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在微积分方面，从入门到进阶，国内国外经典的书非常多。本文介绍的一本是相对高阶的，Lynn H. Loomis 的《高等微积分》。它的特色有三块，一个是在多元微积分上与线性代数结合的比较好，一个是用了很多现代分析的观点，还要一个就是基于微积分比较严谨地建立经典力学，包括哈密顿力学、拉格朗日力学。

《高等微积分》是“丘成桐主编数学翻译丛书”中的一本，是哈佛大学的高等微积分教材，内容涵盖了从基本的向量空间概念到经典力学基本定理，包括多元微积分、外微分、微分形式的积分等。

本书用了很多现代分析的观点处理微积分。主要特点是作者从拓扑-几何的观点来写微积分，用更现代的方式讲线性代数，把线性代数与微积分紧密地结合起来，这顺应了当代数学“拓扑几何与分析结合”的发展潮流。

• 高等微积分-Lynn

不过本书翻译的不太好，容易看得一头雾水，如果遇到看不懂的地方，作者提供了英文版可以参考：

• https://people.math.harvard.edu/~shlomo/docs/Advanced_Calculus.pdf

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第零章 导引

• 0.1 逻辑: 量词
• 0.2 逻辑连接词
• 0.3 量词的否定
• 0.4 集合
• 0.5 限制变量
• 0.6 序对与关系
• 0.7 函数与映射
• 0.8 积集; 指标记号
• 0.9 合成
• 0.10 对偶性
• 0.11 布尔运算
• 0.12 分拆与等价关系

第一章 向量空间

• 1.1 基本概念
• 1.2 向量空间与几何
• 1.3 积空间与 $Hom(V, W)$
• 1.4 仿射子空间与商空间
• 1.5 直和
• 1.6 线性性

第二章 有限维向量空间

• 2.1 基
• 2.2 维数
• 2.3 对偶空间
• 2.4 矩阵
• 2.5 迹与行列式
• 2.6 矩阵计算
• *2.7 二次型的对角化

第三章 微分学

• 3.1 回顾 R 中的情形
• 3.2 范数
• 3.3 连续性
• 3.4 等价的范数
• 3.5 无穷小
• 3.6 微分
• 3.7 方向导数; 中值定理
• 3.8 微分与积空间
• 3.9 微分和 $R^n$
• 3.10 初步应用
• 3.11 隐函数定理
• 3.12 子流形和拉格朗日乘子
• *3.13 函数相关性
• *3.14 一致连续性和取函数为值的映射
• *3.15 变分法
• *3.16 二阶微分和判别点的分类
• *3.17 高阶微分; 泰勒公式

第四章 紧性和完备性

• 4.1 度量空间; 开集和闭集
• *4.2 拓扑
• 4.3 序列的收敛性
• 4.4 列紧性
• 4.5 紧性和一致性
• 4.6 等度连续性
• 4.7 完备性
• 4.8 巴拿赫代数初探
• 4.9 压缩映射不动点定理
• 4.10 参数弧的积分
• 4.11 复数系
• *4.12 弱方法

第五章 内积空间

• 5.1 内积 (纯量积)
• 5.2 交投影
• 5.3 自伴变换
• 5.4 正交变换
• 5.5 紧变换

第六章 微分方程

• 6.1 基本定理
• 6.2 对参数的可微依赖性
• 6.3 线性方程
• 6.4 n 阶线性方程
• 6.5 解非齐次方程
• 6.6 边值问题
• 6.7 傅里叶级数

第七章 多重线性泛函

• 7.1 线性泛函
• 7.2 多重线性泛函
• 7.3 置换
• 7.4 换的符号
• 7.5 交错张量子空间 $a^n$
• 7.6 行列式
• 7.7 外代数
• 7.8 内积空间的外幂
• 7.9 星号算子

第八章 积分

• 8.1 引言
• 8.2 公理
• 8.3 矩形和可铺集合
• 8.4 极小理论
• 8.5 极小理论 (续) 362
• 8.6 可度集合
• 8.7 何时可度?
• 8.8 在线性畸变下的行为
• 8.9 积分的公理
• 8.10 可度函数的积分
• 8.11 换元公式
• 8.12 累次积分
• 8.13 绝对可积函数
• 8.14 问题汇编: 傅里叶变换

第九章 微分流形

• 9.1 总图表
• 9.2 函数, 收敛性
• 9.3 微分流形
• 9.4 切空间
• 9.5 流与向量场
• 9.6 李导数
• 9.7 线性微分形式
• 9.8 用坐标计算
• 9.9 黎曼度量

第十章 流形上的积分学

• 10.1 紧性
• 10.2 1 的分解
• 10.3 密度
• 10.4 黎曼度量的体积密度
• 10.5 密度的拉回和它的李导数
• 10.6 散度定理
• 10.7 更加复杂的区域

第十一章 外微积分

• 11.1 外微分形式
• 11.2 定向流形和外微分形式的积分
• 11.3 算子 $d$
• 11.4 斯托克斯定理
• 11.5 斯托克斯定理的一些例示
• 11.6 微分形式的李导数
• 附录Ⅰ “向量分析”
• 附录Ⅱ $E^3$ 中曲面的初等微分几何

第十二章 E^n 中的位势理论

• 12.1 立体角
• 12.2 格林公式
• 12.3 极大值原理
• 12.4 格林函数
• 12.5 泊松积分公式
• 12.6 泊松积分公式的推论
• 12.7 哈纳克定理
• 12.8 次调和函数
• 12.9 狄利克雷问题
• 12.10 边界附近的行为
• 12.11 狄利克雷原理
• 12.12 物理应用
• 12.13 问题汇编: 留数计算

第十三章 经典力学

• 13.1 切丛和余切丛
• 13.2 变分方程
• 13.3 $T^{* }(M)$ 上的基本线性微分形式
• 13.4 $T^{* }(M)$ 上的基本外 2 - 形式
• 13.5 哈密顿力学
• 13.6 中心力问题
• 13.7 二体问题
• 13.8 拉格朗日方程
• 13.9 变分原理
• 13.10 测地坐标
• 13.11 欧拉方程
• 13.12 刚体运动
• 13.13 小振动
• 13.14 小振动(续)
• 13.15 典型变换

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