N体问题的抽象-质点组力学

摘要: 质点组的力学

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固体总是有一定的形状和大小，如果它的形状和大小不影响我们研究的问题，可以视其为质点，在文章 质点力学基础总览 中，我们串讲了质点力学的内容。主要涉及到质点运动的描述，力和运动定律，力在时间上的积累，力在空间上的积累。

但是有些物体并不是简单的点，而是由许多小部分组成的。例如：

• 行星由岩石、气体、液体等构成
• 炮弹由金属、火药、弹头等构成
• 汽车由发动机、轮胎、车身等构成

这些小部分之间也有相互作用，比如重力、摩擦力、弹性力等。此时物体的大小，形状就对其运动有影响了，就不能将这些物体视为质点，要描述这种复杂系统的运动，需要用到质点组力学。

质点组力学的目标是给出任意个质点在任意时刻的运动状态，也就是位置、速度和加速度。N 体问题是典型的质点组力学问题，历史很悠久，物理学家研究过这个问题。

本文我们首先介绍一下 N 体问题，然后给出质点组力学的基本概念，包括质点组、内力和外力，描述质点组运动的规律，包括运动定律、质点组的动量、动能、动量矩。

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N 体问题

惯性系中有 N 个质点，仅考虑体系内 N 个质点之间的万有引力，求解这 N 个质点的运动方程。

当 $N = 2$ 时，为二体问题，在牛顿时期已经基本解决。两个质点在一个平面上绕着共同质心做圆锥曲线运动，轨迹可以是圆、椭圆、抛物线、双曲线。

当 $N = 3$ 时，是天体力学中的经典难题，牛顿、拉格朗日、拉普拉斯、泊松、雅可比、庞加莱等都有所贡献，但仍然未解决。摄动方法是一种比较有效的近似方法。

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质点组

质点组力学是质点力学的延伸，它把许多相互联系着的质点组成的系统称为质点组。质点组中的每个质点都可以看作一个没有大小和形状的点，只有质量和位置。

假设我们研究的质点组有 $n$ 个质点，第 $i$ 个质点的质量为 $m_{i}$，位矢为 $\vec{r}_{i}$，接下来我们要研究这个质点组的运动规律。首先看一下如何描述质点组的运动。

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运动的描述

在质点力学中，我们用位矢、速度、加速度这三个 3 个关于时间 $t$ 的矢量函数来描述质点的运动。

在质点组中对于特定的质点 $i$，我们还是用这三个量来描述该质点的运动。

• 位矢 $\vec{r}_{i}(t)$

$$\vec{r}_{i}(t) = \int\vec{v}_{i}(t)\mathrm{d}t = \int(\int\vec{a}_{i}(t)\mathrm{d}t)\mathrm{d}t$$

• 速度 $\vec{v}_{i}(t)$

$$\vec{v}_{i}(t) = \frac{\mathrm{d}\vec{r}_{i}(t)}{\mathrm{d}t} = \int\vec{a}_{i}(t)\mathrm{d}t$$

• 加速度 $\vec{a}_{i}(t)$

$$\vec{a}_{i}(t) = \frac{\mathrm{d}\vec{v}_{i}(t)}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}^{2}\vec{r}_{i}(t)}{\mathrm{d}t^{2}}$$

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内力和外力

质点组中的质点受到两种力：外力和内力。外力是质点组以外的物体对质点组任一质点的相互作用力。内力是质点组中质点间的相互作用力。

还是看前面的行星、炮弹、汽车这三个例子，它们对应的质点组的内力、外力的例子总结如下：

物体	质点组	外力	内力
行星	行星由岩石、气体、液体等构成	太阳对行星的引力	行星内部的分子间的吸引力
炮弹	炮弹由金属、火药、弹头等构成	大气对炮弹的阻力	炮弹内部的化学反应产生的爆炸力
汽车	汽车由发动机、轮胎、车身等构成	地面对汽车的支持力	汽车内部的零件间的连接力

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质点组运动定律

对于质点 $i$，其受到的力为 $\vec{F}_{i}$，其中内力为 $\vec{F}_{i}^{(i)}$，外力为 $\vec{F}_{i}^{(e)}$，由牛顿第二定律有：

$$\vec{F}_{i}^{(i)} + \vec{F}_{i}^{(e)} = m_{i}\vec{a}_{i}$$

对于第 $i$ 个质点受到的内力 $\vec{F}_{i}^{(i)}$，记来自质点 $j$ 的内力为 $\vec{F}_{ij}$，于是 $\vec{F}_{i}^{(i)} = \sum\limits_{i \neq j}\vec{F}_{ij}$。

于是可以列出微分方程组：

$$\sum\limits_{j \neq i}\vec{F}_{ij} + \vec{F}_{i}^{(e)} = m_{i}\vec{a}_{i}, \quad i = 1, 2, \cdots, n$$

当 $n = 2$ 时，为二体问题，此时方程可以解出来，参考 二体问题：地球绕太阳的运动轨迹。

当 $n = 3$ 时为三体问题。$n \geq 3$ 时这个方程组很难直接求解，我们需要一些简化的处理方法，

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质点组的动量

对于质点组，从牛顿第二定律的 n 个微分方程组出发，将 n 个方程相加，然后由牛顿第三定律，所有内力的矢量和为 0，得到：

$$\begin{align} \sum\vec{F}_{i}^{(e)} &= \sum m_{i}\vec{a}_{i} = \sum m_{i}\frac{\mathrm{d}\vec{v}_{i}}{\mathrm{d}t} \\ &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\sum m_{i}\vec{v}_{i} \\ &= \frac{\mathrm{d}\vec{p}}{\mathrm{d}t} \\ \end{align}$$

其中 $\vec{p} = \sum m_{i}\vec{v}_{i}$ 为质点组的动量。等于质点组中各个质点的动量的矢量和。

于是我们得到质点组的动量定理：在 $(t_{1}, t_{2})$ 时间段内，作用于系统的合外力的冲量等于系统动量的增量。

记合外力为 $\vec{F}_{e} = \sum\vec{F}_{i}^{(e)}$，质点组的动量定理表达式如下：

$$\int_{t_{1}}^{t_{2}}\vec{F}_{e}\mathrm{d}t = \int_{t_{1}}^{t_{2}}\mathrm{d}p = \vec{p}_{2} - \vec{p}_{1} = \sum\limits_{i=1}\limits^{n}m_{i2}\vec{v}_{i2} - \sum\limits_{i=1}\limits^{n}m_{i1}\vec{v}_{i1}$$

在质点组的动量定理中，当系统的合外力为 0 时，系统的总动量保持不变。该结论称为质点组的动量守恒定律。

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质点组的动量矩(角动量)

还是从质点组各个质点的牛顿第二定律出发，对于第 $i$ 个质点，其微分方程如下：

$$m_{i}\frac{\mathrm{d}^{2}\vec{r}_{i}}{\mathrm{d}t^{2}} = \vec{F}_{i}^{(i)} + \vec{F}_{i}^{(e)}$$

方程两边左边叉乘 $\vec{r}_{i}$，然后对 $i$ 求和得到：

$$\sum\limits_{i}\vec{r}_{i} \times m_{i}\frac{\mathrm{d}^{2}\vec{r}_{i}}{\mathrm{d}t^{2}} = \sum\limits_{i}\vec{r}_{i} \times\vec{F}_{i}^{(i)} + \sum\limits_{i}\vec{r}_{i} \times\vec{F}_{i}^{(e)}$$

一方面，上式右边的第一项为内力矩的矢量和，可以推导出其值为 0。推导过程如下：

考查两个质点 $i$ 和 $j$，它们的相互作用力及其力矩分别为 $\vec{F}_{ij}, \vec{F}_{ji}, \vec{M}_{ij}, \vec{M}_{ji}$，根据力矩的定义，有 $\vec{M}_{ji} = \vec{r_{i}} \times \vec{F}_{ji}$，$\vec{M}_{ij} = \vec{r_{j}} \times F_{ij}$。由牛顿第三定律 $\vec{F}_{ij} = -\vec{F}_{ji}$，于是：

$$\begin{align} \vec{M}_{ji} + \vec{M}_{ij} &= \vec{r_{i}} \times \vec{F}_{ji} + \vec{r_{j}} \times \vec{F}_{ij} \\ &= (\vec{r}_{i} - \vec{r}_{j})\times \vec{F}_{ji} \\ \end{align}$$

由于两个质点之间的作用力的方向在两个质点的连线上，与两个位矢之差的方向一样，因此两者的叉乘为 0。因此质点组的内力矩的矢量和为 0，$\sum\limits_{i}\vec{r}_{i} \times\vec{F}_{i}^{(i)} = 0$。

于是：

$$\sum\limits_{i}\vec{r}_{i} \times m_{i}\frac{\mathrm{d}^{2}\vec{r}_{i}}{\mathrm{d}t^{2}} = \sum\limits_{i}\vec{r}_{i} \times\vec{F}_{i}^{(e)}$$

另一方面，$\vec{r}_{i} \times \frac{\mathrm{d}^{2}\vec{r}_{i}}{\mathrm{d}t^{2}} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\vec{r}_{i}\times\frac{\mathrm{d}\vec{r}_{i}}{\mathrm{d}t})$，于是有：

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\sum\limits_{i}(\vec{r}_{i}\times m_{i}\frac{\mathrm{d}\vec{r}_{i}}{\mathrm{d}t}) = \sum\limits_{i}\vec{r}_{i} \times\vec{F}_{i}^{(e)}$$

$m_{i}\frac{\mathrm{d}\vec{r}_{i}}{\mathrm{d}t}$ 为质点 $i$ 的动量，记为 $\vec{p}_{i}$，于是上式写为：

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\sum\limits_{i}(\vec{r}_{i}\times \vec{p}_{i}) = \sum\limits_{i}\vec{r}_{i} \times\vec{F}_{i}^{(e)}$$

• $\sum\limits_{i}(\vec{r}_{i}\times \vec{p}_{i})$ 为各个质点对定点 $O$ 的动量矩(角动量)的矢量和，记为 $\vec{L}$：

$$\vec{L} = \sum\limits_{i}\vec{L}_{i} = \sum\limits_{i}(\vec{r}_{i}\times \vec{p}_{i})$$

• $\sum\limits_{i}\vec{r}_{i} \times\vec{F}_{i}^{(e)}$ 为各个外力对定点 $O$ 的力矩的矢量和，记为 $\vec{M}_{e}$：

$$\vec{M}_{e} = \sum\limits_{i}M_{i}^{(e)} = \sum\limits_{i}\vec{r}_{i} \times\vec{F}_{i}^{(e)}$$

于是上式写为：

$$\frac{\mathrm{d}\vec{L}}{\mathrm{d}t} = \vec{M}_{e}$$

上式就是质点组的角动量定理：质点组对任一固定点的动量矩对时间的微商，等于各个外力对同一点的力矩的矢量和。

也可以写为以下形式，即：质点组动量矩的微分等于各个外力的元冲量矩的矢量和：

$$\mathrm{d}\vec{L} = \vec{M}_{e}\mathrm{d}t$$

如果所有作用在质点组上的外力对某一固定点 $O$ 的合力矩为 0，则 $\frac{\mathrm{d}\vec{L}}{\mathrm{d}t} = 0$，这是质点组的动量矩守恒定律：质点组不受外力作用时，或虽然受外力作用，但这些力对某一固定点的力矩的矢量和为 0，则对此点而言的动量矩为一恒矢量。

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质点组的功和能

对质点组中的质点 $i$，考虑该质点运动的一段元位移 $\mathrm{d}\vec{r}_{i}$，写出内力和外力的功：

$$\mathrm{d}W_{i} = \vec{F}_{i}^{(i)}\cdot\mathrm{d}\vec{r}_{i} + \vec{F}_{i}^{(e)}\cdot\mathrm{d}\vec{r}_{i} \\$$

再结合牛顿第二定律：

$$m_{i}\frac{\mathrm{d}^{2}\vec{r}_{i}}{\mathrm{d}t^{2}} = \vec{F}_{i}^{(i)} + \vec{F}_{i}^{(e)}$$

结合一阶微分形式不变性，凑微分有：

$$\mathrm{d}W_{i} = (\vec{F}_{i}^{(i)} + \vec{F}_{i}^{(e)})\cdot\mathrm{d}\vec{r}_{i} = m_{i}\frac{\mathrm{d}^{2}\vec{r}_{i}}{\mathrm{d}t^{2}}\cdot\mathrm{d}\vec{r}_{i} = \mathrm{d}(\frac{1}{2}m_{i}\dot{\vec{r}}_{i}^{2})$$

上式的左端是质点 $i$ 的动能的微分，对 $i$ 求和，有：

$$\sum\limits_{i}\vec{F}_{i}^{(i)}\cdot\mathrm{d}\vec{r}_{i} + \sum\limits_{i}\vec{F}_{i}^{(e)}\cdot\mathrm{d}\vec{r}_{i} = \mathrm{d}\sum\limits_{i}(\frac{1}{2}m_{i}\dot{\vec{r}}_{i}^{2})$$

上式就是质点组的动能定理：质点组动能的微分，等于各个内力和外力的元功之和。

如果将上式积分，可以得到质点组动能定理的另一种形式：系统的动能增量等于系统的外力和内力做功的总和。表达式如下：

$$W_{e} + W_{i} = \Delta E_{k}$$

注意内力可以改变质点系的动能。内力做功的情况非常普遍，比如内燃机的工作等等，无法忽略。

如果质点组是刚体，则内力不做功。原因在于，考虑质点组内的两个质点 $i, j$，它们之间的相互作用力为 $F_{ij} = -F_{ji}$，记 $W_{ij}$ 为 $i, j$ 之间的相互作用力的功：

$$\begin{align} \mathrm{d}W_{ij} &= \vec{F}_{ij}\cdot\mathrm{d}\vec{r}_{j} + \vec{F}_{ji}\cdot\mathrm{d}\vec{r}_{i} \\ &= \vec{F}_{ij}\cdot\mathrm{d}\vec{r}_{j} - \vec{F}_{ij}\cdot\mathrm{d}\vec{r}_{i} \\ &= \vec{F}_{ij}\cdot\mathrm{d}(\vec{r}_{j} - \vec{r}_{i}) \end{align}$$

刚体是满足 $\vec{r}_{j} - \vec{r}_{i} = 0$ 的，因此如果质点组是刚体，由于内力不做功，动能定理可以写为：$W_{e} = \Delta E_{k}$。

对于系统来说，所受的力既有外力也有内力；而对于系统的内力来说，它们分为保守内力和非保守内力。所以，内力的功也分为保守内力的功 $W_{ic}$ 和非保守内力的功 $W_{id}$。

保守内力的功可以用系统势能增量的负值表示：

$$W_{ic} = -\Delta E_{p}$$

记系统的机械能增量为 $\Delta E$，则动能定理可以写为：

$$W_{e} + W_{id} = \Delta E_{k} + \Delta E_{p} = \Delta E$$

也就是当系统从状态 1 变化到状态 2 时，机械能的增量等于外力的功与非保守内力的功的总和，该结论称为质点系的功能原理。

在功能原理 $W_{e} + W_{id} = \Delta E_{k} + \Delta E_{p} = \Delta E$ 中，当 $W_{e} + W_{id} = 0$ 时，$\Delta E = 0$，于是又机械能守恒定律：如果一个系统内只有保守内力做功，或者非保守内力与外力的总功为零，则系统内机械能的总值保持不变。

$$E_{k2} - E_{k1} = E_{p2} - E_{p1}$$

对于孤立系统来说，不受外界影响，外力做功为零。此时，影响系统能量的只有系统的内力。

如果有非保守内力做功，系统的机械能就不再守恒，但是系统内部除了机械能之外，还存在其他形式的能量，比如热能、化学能、电能等。那么，系统的机械能就要和其他形式的能量发生转换。

实验表明，一个孤立系统经历任何变化时，该系统的所有能量的总和是不变的，能量只能从一种形式变化为另外一种形式，或从系统内一个物体传给另一个物体，这就是普遍的能量守恒定律。

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