柯斯特利金的代数学引论

摘要: 柯斯特利金《代数学引论》三卷以及《代数学习题集》

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本文介绍俄罗斯的一套代数学的书，写的非常精彩。适合学过一些线性代数、抽象代数之后回炉看，如果是第一次学用这本书的话会比较难。

这本书的习题中的内容也有很多，以前三章为例，在习题中有逆序、直和、西尔维斯特不等式、矩阵分块、伴随矩阵、比内-柯西公式等等。如果跳过习题，则会错过这些比较重要的结论。

如果想配合视频的话，可以在网上搜席南华的代数学引论。

第一卷：基础代数

• 代数学引论1-基础代数

第1章 代数的起源

• 简谈代数
• 几个典型问题
  • 方程的根式解问题
  • 多原子分子的状态问题
  • 通信编码问题
  • 平板受热问题
• 线性方程组初步
  • 名词
  • 线性方程组的等价
  • 化为阶梯型
  • 对阶梯形线性方程组的研究
  • 评注和例子
• 低阶行列式
• 集合与映射
  • 集合
  • 映射
• 等价关系商映射
  • 二元关系
  • 等价关系
  • 商映射
  • 序集
• 数学归纳法原理
• 置换
  • 置换的标准记法
  • 置换的循环结构
  • 置换的符号
  • $S$ 在函数上的作用
• 整数的算术
  • 算术基本定理
  • $\mathbb{Z}$ 中的最大公因数和最小公倍数
  • $\mathbb{Z}$ 中的带余除法

第2章 矩阵

• 行和列的向量空间
  • 问题的提出
  • 基本定义
  • 线性组合线性包
  • 线性相关性
  • 基维数
• 矩阵的秩
  • 方程组的回顾
  • 矩阵的秩
  • 可解性准则
• 线性映射矩阵的运算
  • 矩阵和映射
  • 矩阵的乘积
  • 矩阵的转置
  • 矩阵乘积的秩
  • 方阵
  • 矩阵的等价类
  • 逆矩阵的计算
  • 解空间

第3章 行列式

• 行列式：构造和基本性质
  • 几何背景
  • 组合一解析方法
  • 行列式的基本性质
• 行列式的进一步性质
  • 行列式按一行或一列的元素展开
  • 特殊矩阵的行列式
• 行列式的应用
  • 非退化矩阵的判别准则
  • 克拉默公式
  • 加边子式法
• 行列式的公理化构造
  • 第一公理化构造
  • 第二公理化构造
  • 完全归纳构造法
  • 通过乘法性质的刻画

第4章 群域

• 具有代数运算的集合
  • 二元运算
  • 半群和幺半群
  • 广义结合律；方幂
  • 可逆元素
• 群
  • 定义和例子
  • 循环群
  • 同构
  • 同态
  • 术语例子
• 环和域
  • 环的定义和一般性质
  • 同余式剩余类环
  • 环的同态
  • 环的类型域
  • 域的特征
  • 关于线性方程组的注记

第5章 复数和多项式

• 复数域
  • 辅助结构
  • 复平面
  • 复数运算的几何解释
  • 乘方和开方
  • 唯一性定理
  • 复数的初等几何
• 多项式环
  • 单变元多项式
  • 多变元多项式
  • 带余除法
• 多项式环中的因式分解
  • 整除的初等性质
  • 环中的最大公因 (g.c.d) 和最小公倍 (l.c.m)
  • 欧几里得环的唯一因子分解性
  • 既约多项式
• 分式域
  • 整环的分式域的构造
  • 有理函数域
  • 最简分式

第6章 多项式的根

• 根的一般性质
  • 根和线性因子
  • 多项式函数
  • 多项式环的微分法
  • 重因式
  • 韦达公式
• 对称多项式
  • 对称多项式环
  • 对称多项式基本定理
  • 待定系数法
  • 多项式的判别式
  • 结式
• 域C的代数封闭性
  • 基本定理的叙述
  • 基本定理的证明
  • 基本定理的又一个证明
• 实系数多项式
  • $R[x]$ 中的因式分解
  • $\mathbb{C}$ 上和R上的最简分式
  • 多项式的隔根问题
  • 只有实根的实多项式
  • 稳定多项式
  • 多项式的根对系数的依赖关系
  • 多项式根的计算
  • 整系数多项式的有理根

附录：关于多项式的公开问题

• 雅可比猜想
• 判别式问题
• 多项式环的二元生成问题
• 临界点和临界值问题
• 牛顿方法的整体收敛问题

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第二卷：线性代数

代数学引论2-线性代数

第1章 空间与形式

• 抽象向量空间
  • 论据与公里系统
  • 线性包络，自空间
  • 关于几何解释的说明
• 维数与基底
  • 线性相关性
  • 坐标、空间和同构
  • 子空间的交集与和
  • 直和
  • 商空间
• 对偶空间
  • 线性函数
  • 对偶空间与对偶基底
  • 自反性
  • 线性无关性的判别法
  • 齐次线性方程组解的几何解释
• 双线性型和二次型
  • 多重线性映射
  • 双线性型
  • 双线性型的矩阵的转换规则
  • 对称型与斜对称型
  • 二次型
  • 二次型的规范型
  • 实二次型
  • 正定型与正定矩阵
  • 斜对称二次型的规范型
  • 普法夫型

第2章 线性算子

• 向量空间的线性映射
  • 线性映射语言
  • 用矩阵给定线性映射
  • 核与像的维数
• 线性算子代数
  • 定义与例子
  • 算子代数
  • 线性算子在不同基底下的矩阵
  • 线性算子的行列式与迹
• 不变子空间与特征向量
  • 投影
  • 不变子空间
  • 特征向量
  • 特征多项式
  • 可对角化的判别准则
  • 不变子空间的存在性
  • 共轭线性算子
• 若尔当标准型
  • 哈密顿-凯莱定理
  • 若尔当标准型：定理与推论
  • 根子空间
  • 幂零算子的情形
  • 唯一性
  • 化若尔当标准型的其他方法
  • 其它的标准型

第3章 带有纯量乘积的向量空间

• 欧几里得向量空间
  • 直观理解与定义
  • 基本的度量概念
  • 正交化过程
  • 欧几里得向量空间的同构
  • 标准正交基底与正交矩阵
  • 辛空间
• 埃尔米特向量空间
  • 埃尔米特型
  • 度量关系
  • 正交性
  • 酉矩阵
  • 可赋范的向量空间
• 带有纯量乘积的空间上的线性算子
  • 线性算子与 $\theta$ 线性型之间的关系
  • 线性算子的类型
  • 埃尔米特算子的规范形式
  • 把二次型化到主轴上去
  • 把两个二次型同时化为规范型
  • 保距算子的规范形式
  • 正规算子
  • 正定算子
  • 极化分解
• 复化与实化
  • 复结构
  • 实化
  • 复化
  • 复化-实化-复化
• 正交多项式
  • 逼近问题
  • 最小二乘法
  • 线性方程组与最小二乘法
  • 三角多项式
  • 关于自共轭算子的说明
  • 勒让德多项式（球面多项式）
  • 加权正交
  • 第一类切比雪夫多项式
  • 埃尔米特多项式

第4章 仿射空间与欧几里得点空间

• 仿射空间
  • 仿射空间爱你的定义
  • 同构
  • 坐标
  • 仿射子空间
  • 重心坐标
  • 仿射线性函数与线性方程组
  • 平面位置关系
• 欧几里得(点)空间
  • 欧几里得度量
  • 点到平面的距离
  • 平面间的距离
  • 格拉姆行列式与平行六面体的体积
• 群与几何
  • 仿射群
  • 欧几里得空间的运动
  • 保距变换群
  • 与群对应的线性几何
  • 欧几里得空间的仿射变换
  • 凸集
• 带有指数有限度量的空间
  • 指数有限度量
  • 伪欧几里得运动
  • 洛伦茨群
  • 真洛伦茨群

第5章 二次曲面

• 二次函数
  • 仿射空间上的二次函数
  • 二次函数的中心点
  • 把二次函数化成规范型
  • 欧几里得空间上的二次函数
• 仿射空间与欧几里得空间中的二次曲面
  • 二次曲面的一般概念
  • 二次曲面的中心
  • 仿射空间中的二次曲面的规范型(典范型)
  • 二次曲面的类型
  • 欧几里得空间中的二次曲面
• 射影空间
  • 射影平面的模型
  • 任意维的摄影空间
  • 齐次坐标
  • 仿射图
  • 代数(流形)簇的概念
  • 摄影群
  • 射影几何
  • 重比(交比)
  • 重比的坐标表达式
• 射影空间的二次曲面
  • 分类
  • 射影二次曲面的例子与表现
  • 直线与射影二次曲面的交
  • 关于射影二次曲面的一般说明

第6章 张量

• 张量计算初步
  • 张量的概念
  • 张量的乘积
  • 张量的坐标
  • 在不同坐标系中的张量
  • 空间的张量积
• 张量的卷积、对称化与交错化
  • 张量的卷积
  • 结构张量代数
  • 对称张量
  • 斜对称张量
  • 张量空间
• 外代数
  • 外积
  • 向量空间的外代数
  • 与行列式的联系
  • 向量子空间与 $p$ 向量
  • $p$ 向量可分解条件

附录

• 线性算子的范数与函数
  • 线性算子的范数
  • 线性算子(矩阵)的函数
  • 指数函数
  • 线性群的单参数子群
  • 谱半径
• 线性微分方程
  • 指数函数的导数
  • 微分方程
  • n 阶线性微分方程
• 凸多面体与线性规划
  • 问题的提出
  • 论据
  • 基本的几何概念
• 非负矩阵
  • 生产上的论据
  • 非负矩阵的性质
  • 随机矩阵
• 罗巴切夫斯基几何
  • 罗巴切夫斯基空间
  • 罗巴切夫斯基空间的运动
  • 罗巴切夫斯基度量
  • 罗巴切夫斯基平面
• 有待解决的问题
  • 施特拉辛问题
  • 正交分解
  • 有限射影平面
  • 空间的基底与拉丁方

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第三卷：基本结构

代数学引论3-基本结构

第三卷有一份习题提示可以参考 《代数学引论》第三卷习题提示及勘误

第1章 群论的构造

• 小维数的典型群
  • 一般概念
  • 群 $SU(2)$，$SO(3)$ 的参数化
  • 满同态 $SU(2)\rightarrow SO(3)$
  • 群 $SO(3)$ 的几何表示
  • 四元数
• 子群的陪集
  • 初等性质
  • 循环群的同构
• 群在集合上的作用
  • $G\rightarrow S(\Omega)$ 的同态
  • 轨道和点的稳定子群
  • 群作用在集合上的例子
  • 齐次空间
• 商群与同态
  • 商群的概念
  • 群的同态定理
  • 换位子群
  • 群的积
  • 生成元与定义关系

第2章 群的结构

• 可解群与单群
  • 可解群
  • 单群
• 西罗(Sylow)定理
• 有限生成交换群
  • 例子和初步结果
  • 无挠交换群
  • 有限秩的自由交换群
  • 有限生成交换群的结构
  • 分类问题的其它方法
  • 有限交换群的基本定理
• 线性李群
  • 定义和例子
  • 矩阵群中的曲线
  • 同态的微分
  • 李群和李代数
  • 对数

第3章 表示论基础

• 线性表示的定义和例子
  • 基本概念
  • 线性表示的例子
• 酉性和可约性
  • 酉表示
  • 完全可约性
• 有限旋转群
  • $SO(3)$ 中有限子群的阶
  • 正多面体群
• 线性表示的特征标
  • 舒尔(Schur)引理及其推论
  • 表示的特征标
• 有限群的不可约表示
  • 不可约表示的个数
  • 不可约表示的维数
  • 交换群的表示
  • 某些特殊群的表示
• 群 $SU(2)$ 和群 $SO(3)$ 的表示
• 表示的张量积
  • 逆步表示
  • 表示的张量积
  • 特征标环
  • 线性群的不变量

第4章 环、代数、模

• 环论构造
  • 环的理想及商环
  • 多项式的分裂域
  • 环的同构定理
• 关于环的一些结果
  • 高斯整数
  • 两个平方之和的标准分解
  • 唯一因式分解环的多项式扩张
  • 乘法群 $U(Z_{n})$ 的结构
• 模
  • 关于模的初步知识
  • 自由模
  • 环的整元素
• 域上代数
  • 代数的定义及例子
  • 可除代数(体)
  • 群代数及它上的模
• 李代数 $sl(2)$ 上的不可约模
  • 起初的材料
  • 权及重数
  • 最高权向量
  • 分类的结果

第5章 伽罗瓦理论初步

• 域的有限扩张
  • 本原元素和扩张的次数
  • 分裂域的同构
  • 本原元素的存在性
• 有限域
  • 存在性和唯一性
  • 有限域的子域及自同构
  • 莫比乌斯反演及其应用
• 伽罗瓦对应
  • 初步结果
  • 基本的伽罗瓦对应
  • 伽罗瓦对应的例证
• 伽罗瓦群的计算
  • 群 $Gal(f)$ 在多项式 $f$ 的根上的作用
  • 素数次多项式及素数次群
  • 以模 $p$ 简化的方法
  • 正规基
• 伽罗瓦扩张及相近的问题
  • 算术级数中的素数
  • 伽罗瓦群为交换群的扩张
  • 范数与迹
  • 循环扩张
  • 方程可用根式解的判别法
• 有限群中的刚性和有理性
  • 定义及基本定理的描述
  • 解的计算
  • 刚性的例子

附录：未解决的问题

• 有限单群的分类
• 正则自同构
• 奇异李代数
• 伯恩赛德(Burnside)问题
• 多项式自同构的有限群
• 单可约群
• 伽罗瓦逆定理

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代数学习题集

这本习题集跟前面的《代数学引论》内容不是对应的，但是作者是同一个人。可以作为参考。

代数学习题集

第一部分 代数学基础

第一章 集合和映射

• 1. 子集的运算. 元素数目的计算
• 1. 映射和子集的数目的计算, 二项式系数
• 1. 置换
• 1. 递推关系. 归纳法
• 1. 求和

第二章 算术空间和线性方程组

• 1. 算术空间
• 1. 矩阵的秩
• 1. 线性方程组

第三章 行列式

• 1. 2 阶和 3 阶行列式
• 1. 展开行列式. 归纳定义
• 1. 行列式的基本性质
• 1. 按照一行或一列的元素展开行列式
• 1. 借助初等变换计算行列式
• 1. 计算特殊行列式
• 1. 矩阵乘积的行列式
• 1. 附加的习题

第四章 矩阵

• 1. 矩阵的运算
• 1. 矩阵方程. 可逆矩阵
• 1. 特殊矩阵

第五章 复数

• 1. 复数的代数式
• 1. 复数的三角式
• 1. 复数的根. 分圆多项式
• 1. 借助复数计算和与积
• 1. 复数和平面几何

第六章 多项式

• 1. 带余除法. Euclid 算法
• 1. 特征为 0 的域上的单根和重根
• 1. 在 R 和 C 上的素分解
• 1. 有理数域和有限域上的多项式
• 1. 有理分式
• 1. 插值
• 1. 对称多项式. Vieta 公式
• 1. 结式和判别式
• 1. 根的分离

第二部分 线性代数与几何

第七章 向量空间

• 1. 向量空间的概念. 基
• 1. 子空间
• 1. 线性函数和线性映射

第八章 双线性和二次函数

• 1. 一般的双线性和半双线性函数
• 1. 对称双线性函数, Hermite 函数和二次函数

第九章 线性变换

• 1. 线性变换的定义. 像, 核, 线性变换的矩阵
• 1. 特征向量, 不变子空间, 根子空间
• 1. Jordan 标准形及其应用. 最小多项式
• 1. 赋范向量空间和代数, 非负矩阵

第十章 度量向量空间

• 1. 度量空间的几何
• 1. 伴随变换和正规变换
• 1. 自伴随变换. 二次型化简到主轴上
• 1. 正交变换和酉变换. 极分解

第十一章 张量

• 1. 基本概念
• 1. 对称张量和斜称张量

第十二章 仿射几何, Euclid 几何和射影几何

• 1. 仿射空间
• 1. 凸集
• 1. Euclid 空间
• 1. 二次超曲面
• 1. 射影空间

第三部分 基本代数结构

第十三章 群

• 1. 代数运算. 半群
• 1. 群的概念. 群的同构
• 1. 子群. 群的元素的阶. 陪集
• 1. 群在集合上的作用. 共轭关系
• 1. 同态和正规子群. 商群, 中心
• 1. Sylow 子群. 小阶群
• 1. 直积与直和. Abel 群
• 1. 生成元和定义关系
• 1. 可解群

第十四章 环

• 1. 环和代数
• 1. 理想, 同态, 商环
• 1. 特殊代数类
• 1. 域
• 1. 域扩张. Galois 理论
• 1. 有限域

第十五章 表示论初步

• 1. 群的表示. 基本概念
• 1. 有限群的表示
• 1. 群代数和它们的模
• 1. 表示的特征标
• 1. 连续群的表示的初始知识

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