考研线性代数笔记

摘要: 2014 年考研线性代数笔记

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2014 年考研线性代数笔记。共 55 页。主要内容如下：

• 行列式
• 矩阵
• n 维向量与线性方程组
• 线性空间
• 欧式空间
• 矩阵的对角化
• 实二次型
• 线性变换
• 线性变换的运算

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行列式

• 2,3 阶行列式的对角线法则

• 行列式的性质

• 余子式、代数余子式

• 常见的行列式
  • 对角行列式
  • 三对角行列式
  • 范德蒙德行列式
• 拉普拉斯定理
• 行列式的乘积法则

• 克莱默法则

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矩阵

• 特殊矩阵
  • 行矩阵
  • 列矩阵
  • O阵
  • 方阵
  • 对角阵
  • 单位阵
  • 数量矩阵
  • 三角矩阵
  • 对称矩阵, 反对称矩阵
  • 正交矩阵
  • 幂等矩阵
  • 幂零矩阵
  • 幺幂阵

• 矩阵的运算
  • 加法
  • 数乘
  • 乘法
• 数乘的性质
• 乘法的性质
• 方阵的幂及其性质

• 矩阵的转置及其性质
• 矩阵的共轭及其性质
• 方阵的迹及其性质

• 矩阵的可逆及其充要条件
• 伴随矩阵

• 可逆矩阵的性质

• 矩阵的分块
  • 分块矩阵的加法，数乘，乘法
  • 分块矩阵的转置
  • 分块对角矩阵及其性质

• 矩阵的初等变换
• 阶梯型矩阵
• 简化的阶梯型矩阵
• 标准形矩阵

• 矩阵的秩及其性质

• 初等矩阵

• 求逆阵的初等变换法
• 矩阵方程
• 矩阵的等价及其性质
• 分块阵的初等变换

• 解线性方程组的高斯消元法

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n 维向量与线性方程组

• n 维向量的定义及运算
• n 维向量的 8 条定律

• 线性组合，线性表示的定义

• 线性相关的定义
• 线性相关的充要条件

• 向量组的等价
• 极大无关组

• 内积及其性质
• 正交向量组

• 向量组的秩

• 齐次线性方程组及其基础解系

• 非齐次线性方程组及其通解

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线性空间

• 数域的定义，运算及其封闭性
• 线性空间的定义

• 几个线性空间的例子
• 线性空间的性质
• 线性子空间
• 几个线性子空间的例子

• 生成子空间
• 线性表示，基和坐标

• 基变换
• 坐标变换

• 线性空间的同构

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欧式空间

• 内积，欧式空间的定义
• 几个欧式空间的例子
• 长度的定义

• 夹角的定义
• 正交向量组，标准正交基

• 施密特正交化
• 度量矩阵

• 欧式空间的同构

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矩阵的对角化

• 特征值，特征向量的定义
• 特征子空间
• 特征矩阵
• 哈密顿-凯莱定理
• 特征值，特征向量的求法

• 特征值与特征向量的性质
• 特征值的代数重数，几何重数

• 矩阵的相似
• 矩阵的相似的性质
• 相似对角矩阵的求法

• 正交矩阵
• 正交矩阵的性质
• 实对称矩阵

• 复矩阵的 Jordan 块

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实二次型

• 实二次型的定义
• 二次型矩阵
• 非退化的线性代换
• 合同二次型

• 二次型的标准型及其求法

• 二次型的规范标准型
• 惯性定理，正/负惯性指数

• 正定二次型
• 正定矩阵
• 正定矩阵的判定
• 正定矩阵的性质

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线性变换

• 变换的定义，像，原像
• 一些变换的例子
  • 数乘变换
  • 恒等变换
  • 0 变换
  • 微分变换
  • 积分变换
• 线性变换的性质

• 线性空间一组基在变换下的像
• 线性空间的变换在一组基下的矩阵

• 变换的值域、核

• 欧式空间中的变换

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线性变换的运算

• 乘积
• 加法
• 左右分配律
• 数乘

• 变换的幂
• 线性变换的多项式

• 线性变换的矩阵表示
• 不变子空间

• 直和

• 欧式空间的子空间
• 正交补

• 正交变换与对称变换

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