函数方程串讲、从零推导柯西方程的解

摘要: 最重要的一类函数方程：柯西方程

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在文章 从零推导斯特林公式 中，我们严格证明了斯特林公式，它是信息论中推导取得最大熵的概率分布时需要用到的公式。

本文我们继续看一个信息论中要用到的理论：函数方程，函数方程理论将用于推导信息熵的定义式。本文首先串讲一下函数方程，然后详细推导最重要的一类函数方程也就是柯西方程，包括柯西方程的建立过程，以及柯西方程的解。

函数方程

函数方程是含有未知函数的方程，当然方程中不涉及 $f$ 的微分、积分，比如：

• $f(x + y) = f(x) + f(y)$
• $f(x + y) + f(x + y) = 2f(x)f(y)$
• $f(x^{2}) - f(x) = 1$
• $2f(x) + f(\frac{1}{x}) = x$
• $f(s) = 2^{s}\pi^{s-1}\sin(\frac{\pi s}{2})\Gamma(1-s)f(1-s)$，解为黎曼 $\zeta$ 函数 $f(s) = \zeta(s)$
• $f(x) = \frac{f(x + 1)}{x}$，解为伽玛函数 $f(x) = \Gamma(x)$
• $f(z)f(1 - z) = \frac{\pi}{\sin(\pi z)}$，解为伽玛函数 $f(x) = \Gamma(x)$

如果含有 $f$ 的微分，则称为微分方程，比如汽车以额定功率启动时速度 $v$ 与时间 $t$ 关系的微分方程：

$$\frac{P}{v} - f = \frac{dv}{dt}, \quad v(0) = 0$$

如果含有 $f$ 的积分，则称为积分方程，比如阿贝尔对等时摆曲线的方程 $x = x(y)$ 建立的积分方程：

$$T(h) = \frac{1}{\sqrt{2g}}\int^{h}_{0}\frac{\sqrt{1 + (x^{'}(y))^{2}}}{\sqrt{h - y}}dy$$

对于微分方程、积分方程，在大学中都是一门课，有完备的理论体系，比如解的存在性定理、解的唯一性定理等等。作为对比，函数方程在大学中并没有一门课来讨论其解的存在性、唯一性。虽然没有完备的理论体系，并且函数方程没有普适的解法。但我们在高中时就接触过函数方程，并且在刷题中积累了很多解决函数方程的初等方法，比如换元法、待定系数法、迭代法等等。

虽然微分方程的理论更加完备，但它是跟着微积分一起创建、发展的，这可以追溯到 17 世纪的牛顿和莱布尼茨。作为对比，函数方程的历史更加悠久，可以追溯到 14 世纪，当时有一个数学家叫尼古拉·奥雷姆，他在研究匀加速运动的均匀性时，通过一个函数方程定义了一个线性函数：

$$\frac{y-x}{z-y} = \frac{f(y) - f(x)}{f(z) - f(y)}$$

此后几百年中，函数方程一直在数学家的工作中被使用，但是并没有出现关于函数方程的一般性理论。这其中最值得一提的是 16 世纪数学家圣-文森特的格里高利（Gregory of Saint-Vincent, 1584-1667） 在研究双曲线 $f(x) = \frac{1}{x}$ 的线下面积的过程中创建了以下函数方程：

$$f(xy) = f(x) + f(y)$$

该方程在推导信息熵的定义式时需要用到。该方程隐含了对数函数，文森特通过该方程与牛顿同期得到了 $f(x) = \frac{1}{1+x}$ 线下面积可以用对数来表示的结论。基于该结论，自然对数 e 在分析学中的地位得以初步建立。

牛顿推导广义二项式定理的过程并不严格，给后世留下了严格证明的任务，柯西尝试研究这个问题的过程中建立了柯西指数方程：

$$f(x + y) = f(x)f(y)$$

该方程经过一些变换，可以转换为柯西方程：

$$f(x + y) = f(x) + f(y)$$

很多重要的函数方程都可以转换为柯西方程，解决了柯西方程就等于解决了很多方程。因此本文我们就来严格证明在一些额外条件限制下，柯西方程的解是正比例函数。

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柯西方程

奥古斯丁·路易斯·柯西(1789-1857)是18世纪法国数学家，在数学领域非常高产，生涯 800 多篇论文，首创单复变函数理论；对定积分做了系统的开创性工作，把积分定义为和的极限；奠基数理弹性理论；众多定理和公式以他命名，比如柯西积分公式、柯西不等式，本文我们主要来看一下柯西方程。

柯西方程的建立

几百年前，数学家就知道当 n 是非负整数时的二项式定理：

$$(1 + x)^{n} = 1 + \binom{n}{1}x + \binom{n}{2}x^{2} + \cdots + \binom{n}{n - 1}x^{n - 1} + x^{n} = \sum\limits_{i=0}\limits^{n}\binom{n}{i}x^{i}$$

其中二项式系数如下：

$$\binom{n}{i} = \frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-i+1)}{i!}$$

后来牛顿在 1664 年提出当 z 为任意有理数时，可以类似地利用二项式定理把 $(1 + x)^{z}$ 展开成 x 的幂级数，也叫做广义二项式定理：

$$(1 + x)^{z} = 1 + \binom{z}{1}x + \binom{z}{2}x^{2} + \binom{z}{3}x^{3} + \cdots = \sum\limits_{i=0}\limits^{\infty}\binom{z}{i}x^{i}$$

其中广义二项式系数如下：

$$\binom{z}{i} = \frac{z(z-1)(z-2)\cdots(z-i+1)}{i!}$$

注意二项式定理中是一个有限和而广义二项式定理是一个级数展开。当 $z$ 为非负整数时，这一公式又变回了二项式定理形式的有限和。因此广义二项式定理是关于 $(1 + x)^{z}$ 的级数展开的结论，那么就涉及到级数收敛性的讨论。

然而牛顿提出广义二项式定理的证明不严格，因此后世很多数学家都进行了尝试，柯西(1789~1857)和欧拉(1707~1783)是比较典型的两位，欧拉通过待定系数法+有理数稠密性完成了 $z$ 为实数，$|x| < 1$ 情况下的证明，柯西通过函数方程的方式完成了 $z$ 为实数, $|z| < 1$ 的证明，并且将二项式定理推广到了复数。现在我们可以用泰勒展开、级数收敛的理论、对 $(1 + x)^{z}$ 的级数展开进行严格证明。

柯西严格证明了当 $|x| < 1$ 时，$\sum\limits_{i=0}\limits^{\infty}\binom{z}{i}x^{i}$ 对 $z$ 的任何实数值收敛到一个实数。因此柯西定义了一个函数：

$$f(z) = 1 + zx + \binom{z}{2}x^{2} + \binom{z}{3}x^{3} + \cdots$$

考虑两个级数相乘 $f(z)f(w) = \sum\limits_{i=0}\limits^{\infty}\binom{z}{i}x^{i}\sum\limits_{j=0}\limits^{\infty}\binom{w}{j}x^{j}$，也就是以下无穷矩阵的相加，比较常见的是按对角线来，以及按方块来。如果是按对角线来，称为柯西乘积：

$$\begin{align} f(z)f(w) &= \sum\limits_{i=0}\limits^{\infty}\binom{z}{i}x^{i}\sum\limits_{j=0}\limits^{\infty}\binom{w}{j}x^{j} \\ &= \sum\limits_{n=0}\limits^{\infty}\sum\limits_{k=0}\limits^{n}\binom{w}{k}\binom{z}{n-k}x^{n} \\ &= \sum\limits_{n=0}\limits^{\infty}x^{n}\sum\limits_{k=0}\limits^{n}\binom{w}{k}\binom{z}{n-k} \\ &= \sum\limits_{n=0}\limits^{\infty}\binom{z + w}{n}x^{n} \\ &= f(z + w) \end{align}$$

其中第一步是柯西乘积的定义，最后一步用到了组合恒等式 $\binom{z + w}{n} = \sum\limits_{k=0}\limits^{n}\binom{w}{k}\binom{z}{n-k}$。

因此对所有实数 $z$, $w$，以下方程成立：

$$f(z + w) = f(z)f(w)$$

该方程就是柯西指数方程。后面我们会证明如果 $f(z)$ 不恒为 0，则 $f(z) > 0$，因此可以对上式取对数 $g(z) = \ln{f(z)}$，得到柯西方程：

$$g(z + w) = g(z) + g(w)$$

柯西指数方程还有另一种建立方法，从以下幂级数出发：

$$E(x) = 1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} + \cdots + \frac{x^{n}}{n!} + \cdots$$

考虑两个级数的柯西乘积 $E(x)E(y) = \sum\limits_{m=0}\limits^{\infty}\frac{x^{m}}{m!}\sum\limits_{n=0}\limits^{\infty}\frac{y^{n}}{n!}$，也就是按对角线对以下无穷矩阵相加：

$$\begin{align} E(x)E(y) &= \sum\limits_{m=0}\limits^{\infty}\frac{x^{m}}{m!}\sum\limits_{n=0}\limits^{\infty}\frac{y^{n}}{n!} \\ &= \sum\limits_{n=0}\limits^{\infty}\sum\limits_{k=0}\limits^{n}\frac{x^{k}y^{n-k}}{k!(n-k)!} \\ &= \sum\limits_{n=0}\limits^{\infty}\frac{1}{n!}\sum\limits_{k=0}\limits^{n}\binom{n}{k}x^{k}y^{n-k} \\ &= \sum\limits_{n=0}\limits^{\infty}\frac{(x+y)^{n}}{n!} \\ &= E(x + y) \end{align}$$

以上第一步是柯西乘积的定义，最后一步用到了二项式定理。实际上，函数方程 $E(x + y) = E(x)E(y)$ 是二项式定理 $(x + y)^{n} = \sum\limits_{k=0}\limits^{n}\binom{n}{k}x^{k}y^{n-k}$ 的生成函数的表达式，也就是说函数方程和二项式定理是等价的。可以理解为，组合恒等式 $(x + y)^{n} = \sum\limits_{k=0}\limits^{n}\binom{n}{k}x^{k}y^{n-k}$ 写成生成函数形式为 $E(x + y) = E(x)E(y)$。

柯西方程的结论

柯西方程是形如 $f(x+y) = f(x) + f(y)$ 的一类函数方程，其中 $f: R \rightarrow R$。

在实数定义域上，我们可以证明 $f(x) = ax$ 是解。但除此以外，还有无数函数满足该方程，这是 1905 哈默证明的，这些函数比较奇怪，称为病态函数，这里就不讨论了，如果感兴趣的话可以看关于哈默基的内容。

也就是说，我们需要加条件使得柯西方程的解为正比例函数，以下条件任选其一即可：

(1) $f$ 是连续函数 (1821 年柯西证明)，1875 年达布将条件减为 $f$ 在某点连续即可。

(2) $f$ 在某个开区间有界，也就是存在 $a, b \in R, (a < b)$, 函数在 (a, b) 有界。

(3) $f$ 在某个开区间单调。也就是存在 $a, b \in R, (a < b)$, 函数在 (a, b) 单调。

(4) $f$ 在某个以 0 开始的闭区间上保号，也就是存在 $\epsilon_{1}>0$ 使得 $x \in [0, \epsilon_{1}]$ 上有 $f(x) \geq 0$；或存在 $\epsilon_{2}>0$，使得 $x \in [0, \epsilon_{2}]$ 上有 $f(x) \leq 0$。

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柯西方程的的解为正比例函数的证明

柯西对函数方程 $f(x + y) = f(x) + f(y)$ 的证明过程，称为柯西方法。具体地就是先求出自变量取所有自然数时，函数方程的解具有的形式，然后依次证明对自变量取整数、有理数、实数时，函数方程的解依然具有这种形式，从而得到函数方程的解。

在正整数定义域上的证明

数学归纳法：

对于 $x_{1}$ 和 $x_{2}$ 有 $f(x_{1} + x_{2}) = f(x_{1}) + f(x_{2})$。

假设 $f(x_{1} + x_{2} + \cdots + x_{n-1}) = f(x_{1}) + f(x_{2}) + \cdots + f(x_{n-1})$，则：

$$\begin{align} f(x_{1} + x_{2} + \cdots + x_{n}) &= f(x_{1} + x_{2} + \cdots + x_{n-1}) + f(x_{n}) \\ &= f(x_{1}) + f(x_{2}) + \cdots + f(x_{n}) \end{align}$$

令 $x_{1} = x_{2} = \cdots = x_{n} = x$，则有：

$$f(nx) = nf(x)$$

因此 $f(n) = nf(1)$，当 n 为正整数时成立。

在整数定义域上的证明

对于 $f(x + y) = f(x) + f(y)$，令 $y = 0$，有 $f(x) = f(x + 0) = f(x) + f(0)$，因此 $f(0) = 0$。

令 $y = -x$，有 $f(0) = f(x - x) = f(x) + f(-x) = 0$，因此 $f(-x) = -f(x)$。

由于在正整数上，$f(n) = nf(1)$，当 $n$ 为负整数时，$-n$ 为正整数：

$$f(-n) = -f(n) = (-n)f(1)$$

于是 $f(n) = nf(1)$，因此对于整数 $n$，$f(n) = nf(1)$。

在有理数定义域上的证明

由于 $f(nx) = nf(x)$ 对所有整数 n 和实数 x 成立，令 $x = \frac{m}{n}t$，其中 m, n 为整数，t 为实数，于是 $nx = mt$，因此：

$$f(nx) = f(mt) \\ \Rightarrow nf(x) = mf(t) \\ \Rightarrow nf(\frac{m}{n}t) = mf(t) \\$$

因此对于 $t \in R$，有：

$$f(\frac{m}{n}t) = \frac{m}{n}f(t)$$

因此对于任意有理数 $q = \frac{m}{n}$，$f(qt) = qf(t)$。把 $t = 1$ 代入，得 $f(q) = qf(1)$

在实数定义域上的证明

现在我们有了对任意有理数 $q$ 有 $f(q) = qf(1)$。想要把有理数 $q$ 替换为实数 $x$，需要一些额外条件。

也就是需要一些额外的条件，才能推导出对任意实数 $x$，$f(x) = xf(1)$ 成立。下面我们对常见的一些额外条件分别进行证明。

附加条件1: 函数连续

由于有理数的稠密性，我们可以将实数 $x$ 写成一个有理数数列的极限 $x = \lim\limits_{i\rightarrow \infty}q_{i}$

有理数的稠密性

每一个实数都可以用有理数去逼近到任意精确的程度

下面是有理数稠密性的证明：

对固定正整数 $q$，令 $p$ 取遍所有整数，那么 $\frac{p}{q}$ 把数轴分成一系列长度为 $\frac{1}{q}$ 的区间，每个实数 x 位于这些区间的其中一个。

于是对任意实数 $x$，可以找到整数 $p$ 使得：

$$\frac{p}{q} \leq x < \frac{p+1}{q} \\ \Rightarrow 0 \leq x - \frac{p}{q} < \frac{1}{q} \\ \Rightarrow \left|x - \frac{p}{q}\right| < \frac{1}{q} \\$$

上面的不等式说明了每个实数都能用有理数 $\frac{p}{q}$ 去逼近到任意精确的程度 $\frac{1}{q}$。

引理

设 $f: R\rightarrow R$ 和 $g: R\rightarrow R$ 都是连续函数，且对所有有理数 q 都成立 $f(q) = g(q)$，则对所有实数 x，成立 $f(x) = g(x)$。

证明：

由有理数的稠密性，记 $x = \lim\limits_{i\rightarrow\infty}q_{i}$。

由于 $f, g$ 连续：

$$f(x) = f(\lim\limits_{i\rightarrow\infty}q_{i}) = \lim\limits_{i\rightarrow\infty}f(q_{i}) \\ g(x) = g(\lim\limits_{i\rightarrow\infty}q_{i}) = \lim\limits_{i\rightarrow\infty}g(q_{i}) \\$$

因此根据 $f$ 和 $g$ 的值在有理点上重合，得到 $f(x) = g(x)$。

前面我们知道柯西方程 $f(x + y) = f(x) + f(y)$，对于有理数 $q$ 有 $f(q) = f(1)q$，定义 $g(x) = f(1)x$，由于 $f$ 连续（额外条件），由引理，可以得到 $f(x) = g(x) = f(1)x$。

附加条件2: 函数在某个区间有界

以 $f$ 在 $[a, b]$ 上有上界为例，下界的情况、开区间的情况证法类似。

定义函数 $g(x) = f(x) - f(1)x$，$g$ 也是实值函数。

由于：

$$\begin{align} g(x + y) &= f(x + y) - f(1)(x + y) \\ &= (f(x) + f(y)) - f(1)(x + y) \\ &= (f(x) - f(1)x) + (f(y) - f(1)y) \\ &= g(x) + g(y) \end{align}$$

因此 $g$ 也满足柯西方程。

因此对于任意有理数 $q$ 和实数 $x$，有 $g(qx) = qg(x)$。

由于 $f$ 在 $[a, b]$ 有上界，设界为 $M$，也就是对任意 $x \in [a, b]$ 有 $|f(x)| \leq M$。

由于 $|x| \leq \max(|a|, |b|)$，因此对任意 $x \in [a, b]$ 有：

$$\begin{align} |g(x)| &= |f(x) - f(1)x| \\ &\leq |f(x)| + |f(1)|\times|x| \\ &\leq M + |f(1)|\times\max(|a|, |b|) \\ \end{align}$$

也就是 $g$ 在 $[a, b]$ 有界。

对任意 $x \notin [a, b]$，有有理数 $q$，使得 $x - q \in [a, b]$，$|g(x - q)| \leq M$。

$$\begin{align} |g(x)| &= |g(x - q) + g(q)| \\ &= |g(x - q) + qg(1)| \\ &\leq |g(x - q)| + |qg(1)|\\ &\leq M + |qg(1)| \end{align}$$

因此 $g(x)$ 对任意 $x \in R$ 有界。

若存在 $x \in R$ 使得 $g(x) \neq 0$，则必存在 $n$ 使得 $|g(nx)| = |ng(x)|$ 趋于无穷，与 $g(x)$ 在 $x \in R$ 上有界矛盾。

因此 $g(x) = 0$ 恒成立，也就是 $f(x) = xf(1)$

附加条件3: 函数在某点连续

由函数 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 连续的定义可得：

对任意 $\epsilon$，存在 $\delta$，使得 $x \in (x_{0} - \delta, x_{0} + \delta)$ 时，有 $|f(x) - f(x_{0})| < \epsilon$，也就是 $f(x)$ 在某个区间上有界，转化为附加条件2。

附加条件4: 函数在某区间单调

如果 $f$ 在某闭区间 $[a, b]$ 单调，则 $f$ 在 $[a, b]$ 有界，转化为附加条件2。

如果 $f$ 在某开区间 $(a, b)$ 单调，证明如下。

对于任意 $x \in (a, b)$，有：

$$f(q) < f(x) < f(r)$$

其中 $q, r$ 为有理数，且 $q < x < r$。因此：

$$f(1)q = f(q) < f(x) < f(r) = f(1)r$$

由有理数稠密性，存在 $q_{1} < q_{2} < \cdots < x$ 和 $r_{1} > r_{2} > \cdots x$ 使得：

$$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}q_{n} = \lim\limits_{n\rightarrow\infty}r_{n} = x$$

于是：

$$\begin{align} f(1)x &= \lim\limits_{n\rightarrow\infty}f(1)q_{n} \\ &= \lim\limits_{n\rightarrow\infty}f(q_{n}) \\ &\leq \lim\limits_{n\rightarrow\infty}f(r_{n}) \\ &= \lim\limits_{n\rightarrow\infty}f(1)r_{n} \\ &= f(1)x \end{align}$$

由夹逼定理，$f(x) = f(1)x$

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可以转化为柯西方程的函数方程

很多函数方程可以转化为柯西方程，下面是一些非常重要的例子。

(1) $f(x + y) = f(x)f(y)$

这是柯西指数方程，该方程可以用来推导泊松分布。

如果存在 $x_{0}$ 使得 $f(x_{0}) = 0$，那么 $f(x) = f(x - x_{0} + x_{0}) = f(x - x_{0})f(x_{0}) = 0$，因此 $f(x)$ 恒为 0。

因此这里我们假设对所有实数 $x$，$f(x) \neq 0$。

又因为 $f(x) = f(\frac{x}{2} + \frac{x}{2}) = (f(\frac{x}{2}))^{2}$，因此 $f(x) > 0$。因此可以定义 $g(x) = \ln{f(x)}$，那么 $g$ 是连续的，且满足柯西方程：

$$g(x + y) = g(x) + g(y)$$

当 $f$ 连续时，$g$ 也连续，于是 $g(x) = g(1)x = \ln{f(x)}$。

因此对所有实数 $x$ 有 $f(x) = e^{g(1)x} = e^{\ln{f(1)}x} = f(1)^{x}$。

(2) $f(xy) = f(x)f(y)$

如果存在 $x \neq 0$ 使得 $f(x) = 0$，则 $f(x)$ 恒为 0。

因此假定 $x \neq 0$ 时，$f(x) \neq 0$。

首先考虑 $x$ 为正数的情况，对于 $x > 0, y > 0$，令 $z = \ln{x}, w = \ln{y}$，定义 $g(z) = g(\ln{x}) = f(x)$，有：

$$\begin{align} g(z + w) &= g(\ln{x} + \ln{y}) \\ &= g(\ln{xy}) \\ &= f(xy) \\ &= f(x)f(y) \\ &= g(\ln{x})g(\ln{y}) \\ &= g(z)g(w) \end{align}$$

因此 $g$ 满足柯西指数方程，如果 $f$ 在 $(0, +\infty)$ 连续，那么 $g$ 在所有实数上连续。$g(x) = g(1)^{x}$。

则 $f(x) = g(z) = g(1)^{z} = f(e)^{\ln{x}}$，两边取自然对数 $\ln{f(x)} = \ln(f(e)^{\ln{x}}) = \ln{x}\times \ln{f(e)}$，两边再取自然指数，得到 $f(x) = x^{\ln{f(e)}}$

下面考虑 $x$ 为负数的情况。

在 $f(xy) = f(x)(y)$ 中令 $y=-1$，有 $f(-x) = f(x)f(-1)$，再令 $x = -1$，有 $f(1) = f(-1)f(-1) = 1^{k} = 1$，于是 $f(-1) = \pm 1$。

因此当 $x < 0$ 时，$-x > 0$，于是 $f(x) = f(-1)f(-x) = f(-1)(-x)^{\ln{f(e)}}$。

综合一下，对于实数 $x$，以下两个均为 $f(x)$ 的解：

$$f(x) = sign(x)|x|^{\ln{f(e)}} \\ f(x) = |x|^{\ln{f(e)}} \\$$

(3) $f(xy) = f(x) + f(y)$

令 $x = 1, y = 1$，$f(1) = f(1) + f(1)$，因此 $f(1) = 0$。

令 $x = -1, y = -1$，$f(1) = f(-1) + f(-1) = 0$，因此 $f(-1) = 0$。

令 $y = -1$，$f(-x) = f(x) + f(-1) = f(x)$，因此 $f$ 满足 $f(-x) = f(x)$。

下面考虑 $x$ 为正实数的情况。

由于 $x > 0$，令 $x=e^{t}$，令 $g(t) = f(e^{t})$，于是：

$$\begin{align} g(w + z) &= f(e^{w+z}) \\ &= f(e^{w}e^{z}) \\ &= f(e^{w}) + f(e^{z}) \\ &= g(w) + g(z) \end{align}$$

因此 $g$ 满足柯西方程，如果 $f$ 在 $(0, +\infty)$ 连续，则 $g$ 在实数上连续，于是 $g(t) = g(1)t = f(e^{t})$。得到 $f(x) = g(1)\ln{x} = f(e)\ln{x}$。

当 $x < 0$ 时，$-x > 0$，$f(-x) = f(e)\ln{(-x)}$。

综合一下，$x$ 为实数时，$f(x) = f(e)\ln{|x|}$。

(4) $f(\frac{x+y}{2}) = \frac{f(x) + f(y)}{2}$

该方程为琴生方程(Jensen)。

$$\begin{align} \frac{f(x) + f(y)}{2} &= f(\frac{x + y}{2}) \\ &= f(\frac{((x + y) + 0)}{2}) \\ &= \frac{f(x + y) + f(0)}{2} \\ \end{align} \\ \Rightarrow f(x + y) = f(x) + f(y) - f(0) \\ \Rightarrow f(x + y) - f(0) = (f(x) - f(0)) + (f(y) - f(0)) \\$$

记 $g(x) = f(x) - f(0)$，则 $g(x + y) = g(x) + g(y)$，也就是 g 满足柯西方程。

如果 $f$ 连续，那么 $g$ 也连续，$g(x) = g(1)x = (f(1) - f(0))x = f(x) - f(0)$。

因此对于实数 $x$，$f(x) = (f(1) - f(0))x + f(0)$。

(5) 其它

• $f(x + y) = \frac{f(x)f(y)}{f(x) + f(y)}$

解为 $f(x) = \frac{k}{x}$

• $f(x) \geq 0$，$f(x + y) = f(x) + f(y) + 2\sqrt{f(x)f(y)}$

解为 $f(x) = ax^{2}(a > 0)$

• $f(x) \geq 0$，$(f(x))^{2} + (f(y))^{2} = f^{2}(x + y)$

解为 $f(x) = a\sqrt{x}(a > 0)$

• $f(x) \geq 0$，$(f(x + y))^2 + (f(x - y))^2 = 2((f(x))^{2} + (f(y))^{2})$

解为 $f(x) = a|x|(a > 0)$

• $f(x + y) = f(x) + f(y) + kxy$

解为 $f(x) = ax^{2} + bx$

• $f(x + y) + f(x - y) = 2f(x)$

解为 $f(x) = ax + b$

总结

本文我们串讲了一下函数方程，并且从零推导了柯西方程建立过程、求解过程。很多函数方程都可以转换为柯西方程进而解决。

有了函数方程的基础，后面我们可以从零推导出信息熵的表达式、泊松分布的表达式。

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