几个经典函数方程的连续解-微积分方法

摘要: 微积分解决函数方程

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在文章 函数方程串讲、从零推导柯西方程的解 中，我们串讲了函数方程的基本概念，并且重点推导了柯西方程的建立、求解、推广。柯西方程解的证明过程比较独特，该过程可以提炼出来用于求解一些其它的函数方程，称为柯西方法。

函数方程的求解没有固定套路，拿到陌生问题需要做很多尝试，有的问题的解决需要一些技巧和灵感，这点有点类似于组合恒等式的证明。微积分的方法是面对函数方程时值得尝试的一类方法，但需要注意使用微积分方法隐含了未知函数可微或可积的假设，这一隐含假设是否成立需要注意。

本文我们通过微积分方法求解几个经典函数方程的连续解（隐含了函数连续的假设）。方法都是先通过函数连续的假设推出函数可导，然后两边求导将函数方程转换为微分方程进行解决。

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柯西方程

$$f(x + y) = f(x) + f(y) \quad \forall x, y \in R$$

令 $x = y = 0$，得 $f(0) = 2f(0)$，因此 $f(0) = 0$。

由于 $f$ 连续，有：

$$\int^{a}_{0}f(x+y)dy = \int^{a}_{0}f(x)dy + \int^{a}_{0}f(y)dy = af(x) + \int^{a}_{0}f(y)dy$$

令 $x + y = t$，于是 $\int^{a}_{0}f(x+y)dy = \int^{x+a}_{x}f(t)dt$，于是：

$$\int^{x+a}_{x}f(t)dt = af(x) + \int^{a}_{0}f(y)dy$$

由于 $f$ 连续，因此 $\int^{x+a}_{x}f(t)dt$ 对 x 可导。于是上式的右边也对 x 可导，可以对上式两端求导，得：

$$f(x + a) - f(x) = af^{'}(x)$$

由原方程有 $f(x+a)-f(x)=f(a)$，于是有 $af^{‘}(x)=f(a)$，令 $a=1$ 有 $f^{‘}(x)=f^{‘}(1)$，这是微分方程，根据微分方程的相关理论，解为 $f(x)=f(1)x+C$，根据 $f(0)=0$ 得 $C=0$，于是原方程的解为 $f(x)=f(1)x$。

柯西指数方程

$$f(x + y) = f(x)f(y) \quad \forall x, y \in R$$

令 $x = y = 0$，有 $f(0) = f(0)^{2}$，于是 $f(0) = 1$ 或 $f(0) = 0$。下面分情况讨论：

若 $f(0) = 0$，令 $y=0$ 有 $f(x) = f(x)f(0)$，于是对任意 $x$ 有 $f(x) = 0$。

若 $f(0) = 1$，由于 $f(x)$ 连续，因此存在 $a > 0$ 使得 $y \in [0, a]$ 时 $f(y)>0$，因此 $\int^{a}_{0}f(y)dy > 0$。

对原方程两端积分：

$$\int^{a}_{0}f(x + y)dy = \int^{a}_{0}f(x)f(y)dy = f(x)\int^{a}_{0}f(y)dy$$

令 $x + y = t$，上式左边变为 $\int^{x+a}_{x}f(t)dt$。

因为 $f(t)$ 连续，因此 $\int^{x+a}_{x}f(t)dt$ 对 x 可导，因此等式右边的 $f(x)\int^{a}_{0}f(y)dy$ 也可导，于是 $f(x)$ 可导。于是就可以对原方程两边求导：

$$f^{'}(x+y) = f(x)f^{'}(y)$$

令 $y=0$ 有 $f^{‘}(x) = f^{‘}(0)f(x)$，这是一个微分方程，根据微分方程的相关理论，其解为 $f(x) = Ce^{f^{}(0)x}$，再由 $f(0) = 1$ 得到 $C=1$。

因此得到 $f(0) = 1$ 时的解为 $f(x) = e^{f^{‘}(0)x}$

达朗贝尔方程

$$f(x + y) + f(x - y) = 2f(x)f(y) \quad \forall x, y \in R$$

令 $x = y = 0$，有 $2f(0) = 2f(0)^{2}$，于是 $f(0) = 1$ 或 $f(0)=0$。下面分类讨论。

如果 $f(0) = 0$，令 $y = 0$，得到：$2f(x)f(0) = f(x+0) + f(x-0) = 2f(x)$。因此对任意 $x$ 有 $f(x) = 0$。

如果 $f(0) = 1$，令 $x = 0$，得到：$2f(y) = f(y) + f(-y)$，也就是 $f(y) = f(-y)$，因此 $f(x)$ 是偶函数。

又因为 $f(0) = 1$，且 $f(x)$ 连续，因此存在 $a > 0$ 使得当 $y \in (-a, a)$ 时 $f(y) > 0$，于是 $\int^{a}_{-a}f(y)dy > 0$。

对原方程两边积分，有：

$$\int^{a}_{-a}f(x + y)dy + \int^{a}_{-a}f(x - y)dy = \int^{a}_{-a}2f(x)f(y)dy = 2f(x)\int^{a}_{-a}f(y)dy$$

令 $x + y = t$，有 $\int^{a}_{-a}f(x + y)dy = \int^{x+a}_{x-a}f(t)dt$；

令 $x - y = t$，有 $\int^{a}_{-a}f(x - y)dy = \int^{x+a}_{x-a}f(t)dt$；

于是：

$$2\int^{x+a}_{x-a}f(t)dt = 2f(x)\int^{a}_{-a}f(y)dy$$

因为 $f(t)$ 连续，于是 $\int^{x+a}_{x-a}f(t)dt$ 关于 x 可导，上式两边求导得：

$$f(x+a) - f(x-a) = f^{'}(x)\int^{a}_{-a}f(y)dy$$

令 $x=0$ 有：

$$f^{'}(0)\int^{a}_{-a}f(y)dy = f(a) - f(-a) = 0$$

因此 $f^{‘}(0) = 0$

由于上面的 $f(x+a) - f(x-a) = f^{‘}(x)\int^{a}_{-a}f(y)dy$ 式左端关于 x 可导，因此右端也可导，于是 $f^{‘}(x)$ 可导，也就是 $f^{ ‘ ‘}(x)$ 存在。

于是对原方程的两边对 y 二阶求导，得：

$$2f(x)f^{''}(y) = f^{''}(x+y) + f^{''}(x-y)$$

令 $y=0$ 有 $2f(x)f^{ ‘ ‘}(0) = 2f^{ ‘ ‘}(x)$，即 $f(x)f^{ ‘ ‘}(0) = f^{ ‘ ‘}(x)$。

至此我们将原方程转化为了以下带初始条件的二阶微分方程：

$$\left\{ \begin{array}{**lr**} f(x)f^{''}(0) = f^{''}(x) \\ f(0) = 1 \\ f^{'}(0) = 0 \\ \end{array} \right.$$

根据微分方程的相关理论，该方程有以下三种解：

(1) $f^{ ‘ ‘ }(0) = 0$ 时，$f(x) = C_{1}x + C_{2}$，根据初始条件有 $C_{1} = 0, C_{2} = 1$，于是 $f(x) = 1$；

(2) $f^{ ‘ ‘ }(0) > 0$ 时，$f(x) = C_{1}\sinh kx + C_{2}\cosh kx$，其中 $k = \sqrt{-f^{ ‘ ‘}(0)}$，根据初始条件有 $C_{1} = 0, C_{2} = 1$。于是得到解为 $f(x) = \cosh kx$；

(3) $f^{ ‘ ‘ }(0) < 0$ 时，$f(x) = C_{1}\sin kx + C_{2}\cos kx$，其中 $k = \sqrt{-f^{ ‘ ‘}(0)}$，根据初始条件有 $C_{1} = 0, C_{2} = 1$，于是得到解为 $f(x) = \cos kx$；

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