【分类讨论】力扣335-路径交叉

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摘要: 本文详细拆解 力扣335-路径交叉,核心是分类讨论的思想

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各位好,本文我们来看一个使用分类讨论思想解决的问题。此前我们解决过另一个分类讨论的问题,参考 【分类讨论】力扣29-两数相除。本文分类讨论的步数更多,每一步根据可能得不同取值,做不同处理。


$1 题目

题目链接

题目描述

给定一个含有 n 个正数的数组 x。从点 (0,0) 开始,先向北移动 x[0] 米,然后向西移动 x[1] 米,向南移动 x[2] 米,向东移动 x[3] 米,持续移动。也就是说,每次移动后你的方位会发生逆时针变化。

编写一个 O(1) 空间复杂度的一趟扫描算法,判断你所经过的路径是否相交。

样例

$2 题解

算法:分类讨论

前 4 步 a[0..3]

若 n < 4,无交点

n >= 4,则需要边走边判定

考察第 4 步 a[3]

此时已经经过的点 p[0..3],当前点 p[3],p[0] 点决定 a[3] 的前途,求出走过 a[3] 后的落脚点 p[4],对比 p[4] 和 p[0]

(1) p[4].x <= p[0].x && p[4].y >= p[0].y : 产生交点
(2) p[4].x < p[0].x: 外螺旋
(3) p[4].x == p[0].x: 预备内螺旋
(4) p[4].x > p[0].x: 内螺旋

外螺旋,预备内螺旋,内螺旋三种状态的走法和判定方法见第 5 步以后的分析

第 5 步及以后 a[4..n-1]

从第 5 步 a[4] 开始,当前这一步为 a[i],此时已经经过的点 p[0..i],当前点 p[i]
p[i] 经过 a[i] 得到 p[i + 1]

(1) 预备内螺旋:

p[i - 4] 和 p[i - 5] 决定 a[i] 的前途,对于 a[4] 为预备内螺旋,
需要找 p[0] 和 p[-1],追溯不到,因此初始时候增加一步,视为往西走了 0 距离,
此时就可以在 p 里追溯到决定 a[4] 前途的点了:

判断线段 (p[i], p[i + 1]) 与线段 (p[i-5], p[i-4]) 是否有交点

  • 若有,则返回
  • 若没有,则进入内螺旋状态

(2) 内螺旋

p[i - 2] 和 p[i - 3] 决定 a[i] 的前途:

判断线段 (p[i], p[i + 1]) 与线段 (p[i-3], p[i-2]) 是否有交点

  • 若有,则返回
  • 若没有,继续内螺旋状态

(3) 外螺旋

p[i - 2] 和 p[i - 3] 决定 a[i] 的前途:

判断两个点 (p[i], p[i + 1]) 与直线 (p[i-2], p[i-3]) 的位置关系

  • 在同一侧: 进入内螺旋状态
  • 在两侧: 继续外螺旋状态
  • p[i+1] 落在直线上: 进入预备内螺旋状态

最终算法流程

  • 前 4 步 a[0..3]
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若 n < 3,无交点

n >= 4:
考察第 4 步 a[3], 此时已经经过的点 p[0..3],当前点 p[3]
p[0] 个点决定 a[3] 的前途,求出走过 a[3] 后的落脚点 p[4],对比 p[4] 和 p[0]
(1) p[4].x <= p[0].x && p[4].y >= p[0].y : 产生交点
(2) p[4].x < p[0].x: 外螺旋
(3) p[4].x == p[0].x: 预备内螺旋
(4) p[4].x > p[0].x: 内螺旋

迭代过程中始终维护当前点 p (代表 p[i]) 前面的 5 个点, p5, p4, p3, p2, p1 (代表 p[i-5 ~ i-1])

进入第 5 步 a[4] 时,前五个点分别为: p5, p4 为原点,p3, p2, p1 为利用 a[0~3] 推出来的

  • 第 5 步及以后 a[4..n-1]
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查看当前状态

(1) 预备内螺旋:
判断线段 (p[i], p[i + 1]) 与线段 (p[i-5], p[i-4]) 是否有交点
- 若有,则返回
- 若没有,则进入内螺旋状态

(2) 内螺旋
判断线段 (p[i], p[i + 1]) 与线段 (p[i-3], p[i-2]) 是否有交点
- 若有,则返回
- 若没有,继续内螺旋状态

(3) 外螺旋
判断两个点 (p[i], p[i + 1]) 与直线 (p[i-2], p[i-3]) 的位置关系
- 在同一侧: 进入内螺旋状态
- 在两侧: 继续外螺旋状态
- p[i+1] 落在直线上: 进入预备内螺旋状态

代码 (C++)

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struct Point
{
int x, y;
Point():x(0),y(0){}
Point(int x, int y):x(x),y(y){}
};

class Solution {
public:
bool isSelfCrossing(vector<int>& x) {
int n = x.size();
if(n < 4) return false;
vector<Point> p_prev(5);
Point p;
int ori = 0;
for(int i = 0; i < 3; ++i)
{
Point p_next = step(ori, p, x[i]);
p_prev[2 - i] = p_next;
p = p_next;
ori = (ori + 1) % 4;
}
// 第四步 a[3]
Point p0 = p_prev[3];
Point p4 = step(ori, p, x[3]);
ori = (ori + 1) % 4;
int state = -1;
// 对比 p4 和 p_prev[3]
if(p4.x <= p0.x && p4.y >= p0.y)
return true;
else if(p4.x < p0.x)
state = 2; // 外螺旋
else if(p4.x == p0.x)
state = 1; // 预备内螺旋
else
state = 0; // 内螺旋
p = p4; // 当前点
// 第五步及以后
for(int i = 4; i < n; ++i)
{
Point p_next = step(ori, p, x[i]);
if(state == 1) // 预备内螺旋
{
// 判断线段 (p[i], p[i + 1]) 与线段 (p[i-5], p[i-4]) 是否有交点
if(segment_cross(p_next, p_prev[3], ori))
return true;
else
state = 0;
}
else if(state == 0) // 内螺旋
{
if(segment_cross(p_next, p_prev[1], ori))
return true;
}
else // 外螺旋
{
int s = line_2p(p_next, p_prev[2], p_prev[3], ori);
if(s == 0) // 同一侧
state = 0;
else if(s == 1) // p_next 落在直线上
state = 1;
}
for(int i = 4; i > 0; --i)
p_prev[i] = p_prev[i - 1];
p_prev[0] = p;
p = p_next;
ori = (ori + 1) % 4;
}
return false;
}

private:
// 上,右,下,左
int dx[4] = {0, 1, 0, -1};
int dy[4] = {1, 0, -1, 0};

bool segment_cross(const Point& p1, const Point& p2, int ori)
{
if(ori == 0) // 上
return p1.y >= p2.y;
if(ori == 1) // 右
return p1.x >= p2.x;
if(ori == 2) // 下
return p1.y <= p2.y;
// 左
return p1.x <= p2.x;
}

int line_2p(const Point& p1, const Point& p2, const Point& p3, int ori)
{
if(ori == 0) // 上
{
if(p1.y > p2.y)
return 2;
else if(p1.y <= p2.y && p1.y >= p3.y)
return 1;
else
return 0;
}
if(ori == 1) // 右
{
if(p1.x > p2.x)
return 2;
else if(p1.x <= p2.x && p1.x >= p3.x)
return 1;
else
return 0;
}
if(ori == 2) // 下
{
if(p1.y < p2.y)
return 2;
else if(p1.y >= p2.y && p1.y <= p3.y)
return 1;
else
return 0;
}
// 左
if(p1.x < p2.x)
return 2;
else if(p1.x >= p2.x && p1.x <= p3.x)
return 1;
else
return 0;
}

Point step(int ori, Point p, int l)
{
Point t;
t.x = p.x + dx[ori] * l;
t.y = p.y + dy[ori] * l;
return t;
}
};

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