一本案例丰富的数学建模书

摘要: 《数学建模（原书第5版）》

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• 数学建模（原书第5版）(密码：f9ur)

1. 对变化进行建模

• 例1 测试比例性

用差分方程对变化进行建模

• 例1 储蓄存单
• 例2 抵押贷款买房

用差分方程近似描述变化

• 例1 酵母培养物的增长
• 例2 再论酵母培养物的增长
• 例3 接触性传染病的传播
• 例4 血流中地高辛的衰减
• 例5 冷冻物体的加热

动力系统的解法

• 例1 再论储蓄存单
• 例2 污水处理
• 例3 地高辛处方
• 例4 投资年金
• 例5 活期储蓄账户
• 例6 再论投资年金

差分方程组

• 例1 汽车租赁公司
• 例2 特拉法尔加战斗
• 例3 竞争猎兽模型——斑点猫头鹰和隼
• 例4 一个支线机场的旅客趋势
• 例5 离散流行病模型

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2. 建模过程、比例性和几何相似性

数学模型

• 例1 车辆的停止距离

利用比例性进行建模

• 例1 开普勒第三定律

利用几何相似性进行建模

• 例1 从不动的云层落下的雨滴
• 例2 钓鱼比赛中的建模
• 例3 “骇鸟”尺寸的建模

汽车的汽油里程

体重和身高、力量和灵活性

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3. 模型拟合

用图形为数据拟合模型

模型拟合的解析方法

应用最小二乘准则

选择一个好模型

• 例1 车辆的停止距离
• 例2 比较准则

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4. 实验建模

Chesapeake海湾的收成和其他的单项模型

• 例1 收获蓝鱼
• 例2 收获蓝蟹

高阶多项式模型

• 例1 带式录音机的播放时间

光滑化：低阶多项式模型

• 例1 再论带式录音机的播放时间
• 例2 再论带式录音机的播放时间
• 例3 车辆的停止距离
• 例4 酵母培养物的增长

三阶样条模型

• 例1 再论车辆的停止距离

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5. 模拟方法建模

确定行为的模拟：曲线下的面积

随机数的生成

随机行为的模拟

存储模型：汽油与消费需求

排队模型

• 例1 港口系统
• 例2 早高峰时间

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6. 离散概率模型

离散系统的概率模型

• 例1 再论汽车租赁公司
• 例2 投票趋势

部件和系统可靠性建模

• 例1 串联系统
• 例2 并联系统
• 例3 串并联组合系统

线性回归

• 例1 美国黄松
• 例2 再论钓鱼比赛

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7. 离散模型的优化

优化建模概述

• 例1 确定生产计划方案
• 例2 航天飞机的载货问题
• 例3 分段线性函数逼近

线性规划（一）：几何解法

• 例1 木匠问题
• 例2 数据拟合问题

线性规划（二）：代数解法

• 例1 木匠问题的代数解法

线性规划（三）：单纯形法

• 例1 再论木匠问题
• 例2 使用单纯形表

线性规划（四）：敏感性分析

数值搜索方法

• 例1 二分搜索方法
• 例2 黄金分割搜索方法
• 例3 再论模型拟合准则
• 例4 工业流程优化

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8. 图论建模

作为模型的图

图的描述

图模型

利用图模型来解问题

• 例1 求解最短路径问题
• 例2 求解最大流问题

与数学规划的联系

• 例1 顶点覆盖
• 例2 最大流

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9. 决策论建模

概率和期望值

• 例1 掷骰子
• 例2 人寿保险
• 例3 轮盘赌
• 例4 改建现有的高尔夫球场还是建造新的高尔夫球场
• 例5 再论改建现有的高尔夫球场还是建造新的高尔夫球场

决策树

• 例1 建造新的高尔夫球场还是改建现有的高尔夫球场
• 例2 再论Hardware & Lumber公司的决策
• 例3 地方电视台

序列决策和条件概率

• 例1 拉斯维加斯赌场轮盘赌
• 例2 再论拉斯维加斯赌场轮盘赌
• 例3 再论Hardware & Lumber公司序列决策

利用各种准则的决策

• 例1 投资与状态
• 例2 投资策略

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10. 博弈论

博弈论：完全冲突

• 例1 一个有纯策略的完全冲突博弈
• 例2 一个有混合策略的完全冲突博弈：投球手和击球手的较量
• 例3 一个部分冲突的博弈：囚徒困境

完全冲突博弈的线性规划模型：纯策略与混合策略

• 例1 投球手和击球手的较量
• 例2 再论Home Depot和Ace五金店的位置

再论决策论：与大自然的博弈

• 例1 一个制造企业与经济
• 例2 再论投资策略

确定纯策略解的其他方法

2×2 完全冲突博弈的其他简便解法

• 例1 让击球手和投球手较量中的期望值相等
• 例2 击球手和投球手的零头法

部分冲突博弈：经典的两人博弈

• 例1 没有交流的囚徒困境
• 例2 威胁与承诺的组合

建模例子

• 例1 Bismarck海战
• 例2 足球中的罚点球
• 例3 再论击球手和投球手的较量
• 例4 古巴导弹危机
• 例5 2007~2008年的编剧协会罢工事件

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11. 用微分方程建模

人口增长

对药剂量开处方

再论刹车距离

自治微分方程的图形解

• 例1 画相直线及解曲线的草图
• 例2 汤的冷却
• 例3 再论逻辑斯谛增长

数值近似方法

• 例1 欧拉法的运用
• 例2 再论储蓄存单

分离变量法

• 例1 再论牛顿冷却定律
• 例2 再论资源有限的人口增长

线性方程

• 例1 水污染

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12. 用微分方程组建模

一阶自治微分方程组的图形解

• 例1 线性自治微分方程组
• 例2 非线性自治微分方程组

竞争捕猎模型

捕食者食饵模型

两个军事方面的例子

• 例1 Lanchester战斗模型
• 例2 军备竞赛的经济方面

微分方程组的欧拉方法

• 例1 方程组的欧拉方法应用
• 例2 轨线和解曲线
• 例3 连续的SIR传染病模型

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13. 连续模型的优化

库存问题：送货费用和储存费用最小化

多变量函数的优化方法

• 例1 竞争性产品生产中的利润最大化
• 例2 非线性最小二乘

连续约束优化

• 例1 石油转运公司
• 例2 航天飞机的水箱

可再生资源的管理：渔业

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