数概率

【Puzzle】三人枪战

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摘要: 《概率50题》三人枪战

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这是概率面试题连载第 17 期，我们继续看 《Fifty challenging problems in probability with solutions》 中的一道题。

往期的内容整理在这篇文章里；或者看这个 github 仓库。

问题描述

The-Three-Cornered-Duel

A, B, and C are to fight a three-cornered pistol duel
All know that:
1) A’s chance of hitting his target is 0.3
2) C’s chance is 0.5
3) B never misses
They are to fire at their choice of target in succession in the order A, B, C cyclically until one man is left unhit

Note: if a man is hit, he loses and is no longer shot at

What should A’s strategy be?

A, B, C 三个人进行枪战。三个人的射击水平不一样，具体如下：
1) A 命中目标的概率为 pa = 0.3
2) B 命中目标的概率为 pb = 1.0
3) C 命中目标的概率为 pc = 0.5
三个人按照 A, B, C 的顺序轮流执行射击，轮到每个人的时候，首先选一个目标，然后射击。
如果某个人被命中，则该人出局，此后也不能选他为目标。
三个人一直轮流地射击下去，直到只剩下一个人没有出局，此人是获胜者。
A, B, C 三个人在选择目标时，均会选择自己获胜概率最大的策略。

问：在 ABC 均在场时，A 选择谁为目标，获胜概率最大。

思路参考

记 P(XY) = XY 之间 X 先打的枪战， X 获胜的概率。

1. A 选择打 B

(1) A 命中 B，概率 0.3。则形成 AC 之间 C 先打的枪战。

下面我们考虑 AC 之间的枪战

  • 如果 C 先打，则 C 获胜的概率为 P(CA)，A 获胜的概率为 1 - P(CA)。
  • 如果 A 先打，则 A 获胜的概率为 P(AC)，C 获胜的概率为 1 - P(AC)。

如果局面是 C 先打但是 C 没有命中，则形成 A 先打的局面；如果局面是 A 先打但是 A 没有命中，则形成 C 先打的局面。因此 P(AC) 和 P(CA) 之间有以下关系。

可以求得：P(CA) = 10 / 13, P(AC) = 6 / 13。

因此在 A 命中 B 的条件下，A 获胜的概率为 1 - P(CA) = 3 / 13

(2) A 未命中 B，概率 0.7，则形成 ABC 之间 B 先打的枪战。

下面我们考虑 ABC 之间 B 先打的枪战。B 可以选择 A 或者 C 为目标。

  • 如果 B 选择 A 为目标，则形成 BC 之间 C 先打的局面，C 获胜概率为 pc = 0.5，B 获胜概率为 0.5。
  • 如果 B 选择 C 为目标，则形成 AB 之间 A 先打的局面，A 获胜概率为 pa = 0.3，B 获胜概率为 0.7。

因此对于 B 来说，选择 C 为目标是对自己最有利的，形成 AB 之间 A 先打的局面，A 可以以 0.3 的概率获胜。

综合 (1) 和 (2) 两种情况，A 选择打 B 的获胜概率为 p1 = 0.3 * (3 / 13) + 0.7 * 0.3 = 0.27923

2. A 选择打 C

(1) A 命中 C，概率 0.3，形成 AB 之间 B 先打的枪战。A 胜的概率是 0

(2) A 未命中 C，概率 0.7，形成 ABC 之间 B 先打的局面，上面分析过，这种局面 A 胜的概率为 0.3

综合 (1) 和 (2) 两种情况，A 选择打 C 的获胜概率为 p2 = 0.7 * 0.3 = 0.21

p2 < p1，因此在 ABC 都在场且 A 先打时，A 应该打 B，获胜概率最大。

如果可以作弊的话，当 ABC 都在场轮到 A 打时，A 选择故意不命中，留下一个 ABC 都在场但 B 先打的局面，这种局面 A 的获胜概率为 0.3 比 p1，p2 都大。

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