古今数学思想

摘要: 介绍《古今数学思想》这本书

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现代数学教材中，往往是【定义-定理-证明-例题】这种模式，这种模式比较好的方面是当需要快速填鸭的时候，内容接受速度可以很快（当然可能忘得也快）。但是这种模式也有缺点。比如一些比较经典的定理，往往是前人数学家提出的，之后由自己或者后人完成了证明。教材中一般是先给出结论，然后再用现代的知识体系证明，这当然没错，但如果没有考试这回事的话，我们更感兴趣的是当时数学家是怎么提出这个定理的。

“他当时是在研究什么问题的时候，发现了什么现象，做了哪些思考，然后提出的这个定理”。要了解这件事的话，可以考虑看一些数学史相关的书，本文我们就介绍一本数学史方面的鸿篇巨著：《古今数学思想》。这是美国数学史家、数学教育家与应用数学家 M·克莱因（1908-1992）的代表作。这本书主要作为“从历史角度来讲解的数学入门书”，突出了数学发展的思想方法，论述了数学思想的古往今来。

• 古今数学思想1
• 古今数学思想2
• 古今数学思想3
• 古今数学思想4

这套书的时间范围是从古埃及时代到20世纪前半叶，跨度3000年，大致可以分为六个阶段，下面我们分别串讲一下。

上古时期

上古时期主要涉及到两河流域（幼发拉底河与底格里斯河）地区的古巴比伦，以及尼罗河流域的古埃及。这可以算是代数和几何最早的起源，内容不多，涉及第一卷第 1 ~ 2 章：

• 古巴比伦人使用了计数与记数系统，催生了早期的代数学。（Chap1）
• 古埃及人为了治理尼罗河水患，有了丈量土地的需求，创立了早期的几何学。（Chap2）

古希腊时期

现代科学与哲学的源头都可以追溯到古希腊时期，内容还是挺多的，涉及到第一卷第 3 ~ 8 章。比较核心的有下面几个：

• 毕达哥拉斯学派“万物皆数”的哲学思想，开启了对世界的抽象化思考。（Chap3）
• 欧几里得的《几何原本》，为后世数学的发展奠定了“公理化”的范式。（Chap4）
• 阿基米德首次提出球的体积公式，善于使用“无穷小分析”，微积分的雏形。（Chap5）
• 丢番图《算术》，代数学的里程碑，在几何学盛行的古希腊时代为代数学发展奠定了基础。（Chap6）

中世纪时期

中世纪时期是指公元 5 世纪后期到公元 15 世纪中期的一千年时间。始于公元476年西罗马帝国的灭亡，终于公元1453年东罗马帝国的灭亡，最终融入文艺复兴运动和大航海时代中。教会统治下的中世纪，神学是唯一意识形态，托勒密地心说为神留下了空间因而被教会推崇。

在这一时期数学主要在印度和阿拉伯发展，欧洲数学是停滞的，涉及第一卷第 9 ~ 10 章：：

• 由印度人发明、阿拉伯人传播的阿拉伯数字在世界流行。（Chap9）

文艺复兴时期

文艺复兴（Renaissance）是指发生在 15 世纪到 17 世纪在欧洲发生的思想文化运动，大航海也发生在同一时期，欧洲船队在各处的海洋上寻找新的贸易路线和贸易伙伴。文艺复兴和大航海都是反映新兴资产阶级要求的运动。

在数学方面停滞了一千年的代数、几何恢复了进展、同时概率论起源并开始发展，涉及第一卷第 11 ~ 14 章、第二卷第 15 ~ 16 章：

• 代数方程理论发展，为数域扩张提供动力，从自然数到整数、从有理数到实数、从复数到四元数，涉及卡尔达诺等人。（Chap13）
• 笛卡尔与费马的解析几何，实现了数形结合。（Chap 14 ~ 15）
• 概率论起源，涉及到帕斯卡、费马、惠更斯、伯努利、棣莫弗、贝叶斯等人。

资产阶级革命时期

资产阶级革命时期是指 17 世纪至 18 世纪中期这一段时间，这一时期随着新航路的开辟以及早期殖民扩张、资本主义经济和世界市场开始形成。期间有若干近代资本主义政体建立，最著名的是英国资产阶级革命、美国独立战争、法国大革命。

从数学的角度这一时期可以称为微积分时代，最重要的进展是微积分的建立，以及微积分和微分方程在力学等领域的广泛应用，涉及第二卷第 17 ~ 18、24 章：

• 牛顿与莱布尼茨发明的微积分。（Chap17）

工业革命时期

工业革命时期是指从十八世纪六十年代起到二十世纪初的 150 年时间，这是数学发展的黄金时代，数学史上那些耳熟能详的名字，大都在这个时代。

在此阶段纯数学以分析、代数、几何为三大分支的格局悄然形成。涉及第二卷第 19 ~ 26 章、第三卷第 27 ~ 39 章、第四卷第 40 ~ 43：

(1) 分析

• 微积分与微分方程的方法渗透到了科学的各个领域，涉及到欧拉、达朗贝尔、拉格朗日、拉普拉斯、傅里叶等数学家。（Chap19 ~ 22、28 ~ 29）
• 变分法的建立以及发展，涉及到欧拉和拉格朗日等人。（Chap24、30）
• 复变函数的建立，主要涉及柯西、魏尔斯特拉斯、阿贝尔等人。（Chap27）
• 以实数理论为代表的分析严密化，为微积分提供了严格的数学基础，涉及到柯西、戴德金、康托、魏尔斯特拉斯等众多数学家。（Chap40 ~ 41）

(2) 代数

• 一元n次方程的根式求解问题，推动阿贝尔和伽罗瓦建立了近世代数，启发了库默尔将初等数论拓展到了代数数论。（Chap31 ~ 32）
• 狄利克雷和黎曼将复变函数应用于数论的研究，创立了解析数论。（Chap34）
• 线性代数创立，给出非线性问题线性化之后精确的数学逻辑，使得微积分的扩张有了坚实基础。涉及到贝祖等人。（Chap25、33）

(3) 几何

• 研究空间中的曲线曲面的微分几何，涉及到高斯等人。黎曼基于流形概念创立的黎曼几何，克莱因提出“埃尔朗根纲领”。（Chap23、37）
• 对“欧几里得第五公设”的研究使得人们认识到非欧几何学的存在，涉及到高斯、鲍耶、罗巴切夫斯基、黎曼等数学家。（Chap36、38、42）
• 代数几何的起源与发展。（Chap35、38、39）

现代

20 世纪的现代数学，其显著特征就是新的数学分支大量涌现，整个数学体系极其庞大。涉及第四卷第 44 ~ 51 章。

• 1900年希尔伯特在第二届国际数学家大会上提出的23个数学问题，为20世纪数学的发展指明了方向。
• 庞加莱对自守形式、复变函数论、代数拓扑、微分方程定性理论和数论的研究，引领了20世纪主流数学的发展。
• 实变函数论的建立与发展，涉及斯蒂尔杰斯和勒贝格等人。（Chap44）
• 希尔伯特建立积分方程理论。（Chap45）
• 巴拿赫开创泛函分析，是分析学的集大成者，作为线性代数的无穷维版本，将变分法、微分方程、积分方程、函数论以及量子力学容纳其中。（Chap46）
• 诺特将近世代数进一步完善成一套完整的理论体系，其关于对称性与守恒律之间对应的深刻洞察触摸到了最底层的自然规律。（Chap49）
• 发散级数的理论 （Chap47）
• 张量分析（Chap48）
• 拓扑学 （Chap50）
• 集合论与数理逻辑 （Chap51）

总结

从这套书中，我们可以了解数学概念的创造、数学理论的发展、数学思想的变化过程，自然而然、逐步深化。从初中生到工作多年的人都很适合阅读。

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