算法数学算法

推公式解决问题

字数统计: 1.8k字   |   阅读时长: 7分
, ,

摘要: 推公式的题目

【对算法，数学，计算机感兴趣的同学，欢迎关注我哈，阅读更多原创文章】
我的网站：潮汐朝夕的生活实验室
我的公众号：算法题刷刷
我的知乎：潮汐朝夕
我的github：FennelDumplings
我的leetcode：FennelDumplings

有一类问题，其求解的过程主要依赖于一些公式推导，只要公式推出来，在实现的时候只需要按公式来就行，不涉及什么算法或数据结构。

如果推不出公式，那就只能接受诸如暴力、模拟等性能很可能不太好的方法了。

2028. 找出缺失的观测数据

现有一份 n + m 次投掷单个 六面 骰子的观测数据，骰子的每个面从 1 到 6 编号。观测数据中缺失了 n 份，你手上只拿到剩余 m 次投掷的数据。幸好你有之前计算过的这 n + m 次投掷数据的 平均值 。

给你一个长度为 m 的整数数组 rolls ，其中 rolls[i] 是第 i 次观测的值。同时给你两个整数 mean 和 n 。

返回一个长度为 n 的数组，包含所有缺失的观测数据，且满足这 n + m 次投掷的 平均值 是 mean 。如果存在多组符合要求的答案，只需要返回其中任意一组即可。如果不存在答案，返回一个空数组。

k 个数字的 平均值 为这些数字求和后再除以 k 。

注意 mean 是一个整数，所以 n + m 次投掷的总和需要被 n + m 整除。

提示：

1
2
3
m == rolls.length
1 <= n, m <= 1e5
1 <= rolls[i], mean <= 6

示例 1：
输入：rolls = [3,2,4,3], mean = 4, n = 2
输出：[6,6]
解释：所有 n + m 次投掷的平均值是 (3 + 2 + 4 + 3 + 6 + 6) / 6 = 4 。

示例 2：
输入：rolls = [1,5,6], mean = 3, n = 4
输出：[2,3,2,2]
解释：所有 n + m 次投掷的平均值是 (1 + 5 + 6 + 2 + 3 + 2 + 2) / 7 = 3 。

示例 3：
输入：rolls = [1,2,3,4], mean = 6, n = 4
输出：[]
解释：无论丢失的 4 次数据是什么，平均值都不可能是 6 。

示例 4：
输入：rolls = [1], mean = 3, n = 1
输出：[5]
解释：所有 n + m 次投掷的平均值是 (1 + 5) / 2 = 3 。

算法：推公式

记 $rolls$ 中记录的 $m$ 个数据的和为 $s_{m}$，平均值记为 $a$，于是 $n$ 个未知数据的总和为 $s_{n} = (m + n)a - s_{m}$，下面的问题是 $s_{n}$ 的总数如何分配到 $n$ 条数据上。

由于每个数据的范围为 1 到 6，因此 $n$ 个数据的总和的范围必须为 $[n, 6n]$，如果 $s_{n} < n$ 或者 $s_{n} > 6n$，则直接返回空数组即可。

若 $s_{n}$ 在 $[n, 6n]$ 中，则记 $k = \left\lfloor\frac{s_{n}}{n}\right\rfloor$，这样 $n$ 个数据都设为 $k$ 后，还差 $t = s_{n} - kn$ 的数据未分配，这里 $0 \leq t < n$。

因此由 $t$ 个 $k+1$ 以及 $n-t$ 个 $k$ 组成的 $n$ 条数据是满足条件的，返回即可。

代码 (Python)

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
class Solution:
    def missingRolls(self, rolls: List[int], mean: int, n: int) -> List[int]:
        m = len(rolls)
        sm = sum(rolls)
        sn = mean * (m + n) - sm
        if sn > n * 6 or sn < n:
            return []
        k = sn // n
        t = sn % n
        result = [k + 1] * t + [k] * (n - t)
        return result

2981. 找出出现至少三次的最长特殊子字符串 I

给你一个仅由小写英文字母组成的字符串 s 。

如果一个字符串仅由单一字符组成，那么它被称为 特殊 字符串。例如，字符串 “abc” 不是特殊字符串，而字符串 “ddd”、”zz” 和 “f” 是特殊字符串。

返回在 s 中出现 至少三次 的 最长特殊子字符串 的长度，如果不存在出现至少三次的特殊子字符串，则返回 -1 。

子字符串 是字符串中的一个连续 非空 字符序列。

提示：

1
2
3 <= s.length <= 50
s 仅由小写英文字母组成。

示例 1：
输入：s = “aaaa”
输出：2
解释：出现三次的最长特殊子字符串是 “aa” ：子字符串 “aaaa”、”aaaa” 和 “aaaa”。
可以证明最大长度是 2 。

示例 2：
输入：s = “abcdef”
输出：-1
解释：不存在出现至少三次的特殊子字符串。因此返回 -1 。

示例 3：
输入：s = “abcaba”
输出：1
解释：出现三次的最长特殊子字符串是 “a” ：子字符串 “abcaba”、”abcaba” 和 “abcaba”。
可以证明最大长度是 1 。

算法：推公式，分类讨论

从左到右遍历字符串，过程中维护一个哈希表，键是 26 个小写字符，值为遍历过程中遇到的每段字符都相同的子串的长度，一个字符可能有多个这种子串，把同一个字符对应的每段子串的长度以数组的方式记录下来。

例如 aabcccaaa，遍历完成后，哈希表的内容如下：

1
2
3
4
5
a: [2, 3]
b: [1]
c: [3]
d: []
...

然后依次考查 26 个小写字符，对于字符 ch 来说，mapping[ch] 为一个数组，保存的是字符串中各段由该字符构成的子串长度。首先考虑几种 ch 不会对答案有贡献的情况：

  • 如果数组 mapping[ch] 为空，则字符串中没有出现过字符 ch；
  • 如果数组 mapping[ch] 长度为 1，且其值还小于等于 2，那么字符串中只有孤立的字符 ch，或者两个连续的字符 ch，由 ch 构成的特殊子串不会出现三次；
  • 如果数组 mapping[ch] 长度为 2，且两个值都为 1，那么字符串中只有两个孤立的字符 ch，由 ch 构成的特殊子串也不会出现三次。

若数组 mapping[ch] 不是以上情况，则 ch 肯定会形成一个候选答案。遍历一次数组 mapping[ch]，记其中最大的三个数为 max_lens[0..2]，注意两种边界情况：

  • 若数组长度为 1，则 max_lens[1..2] 记为 -1；
  • 若数组长度为 2，则 max_lens[2] 记为 -1 即可。

下面分情况讨论 ch 对应的候选答案：

  • max_lens 中记录的数组 mapping[ch] 最大的三个值相等，则 max_lens[0] 为候选答案；
  • 三个值不相等，但是 max_lens[1] + 1 >= max_lens[0]，则候选答案为 max_len[0] - 1；
  • 三个值不相等，且 max_lens[1] + 1 < max_lens[0]，则 max_lens[0] - 2 为候选答案。

代码 (Python)

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
class Solution:
    def maximumLength(self, s: str) -> int:
        mapping = [[] for _ in range(26)]
        n = len(s)
        l = 0
        while l < n:
            ch = s[l]
            r = l + 1
            while r < n and s[r] == ch:
                r += 1
            mapping[ord(ch) - ord('a')].append(r - l)
            l = r
        ans = -1
        for i in range(26):
            if len(mapping[i]) == 0:
                continue
            if len(mapping[i]) == 1 and mapping[i][0] <= 2:
                continue
            if len(mapping[i]) == 2 and mapping[i][0] == 1 and mapping[i][1] == 1:
                continue
            max_lens = [-1] * 3
            for x in mapping[i]:
                if x >= max_lens[0]:
                    max_lens[2] = max_lens[1]
                    max_lens[1] = max_lens[0]
                    max_lens[0] = x
                elif x >= max_lens[1]:
                    max_lens[2] = max_lens[1]
                    max_lens[1] = x
                elif x >= max_lens[2]:
                    max_lens[2] = x
            if max_lens[0] == max_lens[1] and max_lens[0] == max_lens[2]:
                ans = max(ans, max_lens[0])
            elif max_lens[1] + 1 >= max_lens[0]:
                ans = max(ans, max_lens[0] - 1)
            else:
                ans = max(ans, max_lens[0] - 2)
        return ans
Share