【Puzzle】三人循环赛

摘要: 三人循环赛的概率问题

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问题描述

A,B,C 三个人比赛，A赢B的概率是0.4，A赢C的概率是0.6，B赢C的概率是0.8。不存在和棋。

现在他们打大循环(两两之间均有一场比赛，每人两场)决出冠军，如果出现三个人均赢一盘棋的情况，则加赛一轮大循环，直到决出冠军

求: A 最终胜出的概率

思路参考

记 Pab 为 ab 之间的比赛 a 获胜的概率，Pac 为 ac 之间的比赛 a 获胜的概率，Pbc 为 bc 之间的比赛 b 获胜的概率

两两之间均有一场比赛，一共有三场比赛。每场比赛有两种结果，三场比赛共有 8 种结果。

这 8 种结果中，A 在 AB 之间的比赛和 A 在 AC 之间的比赛均获胜时，A 夺冠，占 8 种比赛结果中的两种，概率为 Pab * Pac。

当 A 在 AB 之间的比赛获胜、C 在 AC 之间的比赛获胜、B 在 BC 之间的比赛获胜时，需要重新进行大循环赛，占 8 中比赛结果中的 1 种，概率为 Pab * (1 - Pac) * Pbc。

当 B 在 AB 之间的比赛获胜、A 在 AC 之间的比赛获胜、C 在 BC 之间的比赛获胜时，需要重新进行大循环赛，占 8 中比赛结果中的 1 种，概率为 (1 - Pab) * Pac * (1 - Pbc)。

其余的 4 中比赛结果为 A 未夺冠。

记循环赛后 A 夺冠的概率为 P

$$\begin{align} P &= Pab \times Pac + (Pab \times (1 - Pac) \times Pbc + (1 - Pab) \times Pac \times (1 - Pbc)) \times P \\ &= \frac{2}{5} \times \frac{3}{5} + (\frac{2}{5} \times (1 - \frac{3}{5}) \times \frac{4}{5} + (1 - \frac{2}{5}) \times \frac{3}{5} \times (1 - \frac{4}{5})) \times P \\ \end{align} \\$$ $$125P = 30 + (16 + 9) \times P$$

求的答案

$$P = \frac{3}{10}$$

蒙特卡洛模拟

import numpy as np

Pab = 0.4
Pac = 0.6
Pbc = 0.8

def round():
    ab = ac = bc = 0
    if np.random.rand() >= Pab:
        ab = 1
    if np.random.rand() >= Pac:
        ac = 1
    if np.random.rand() >= Pbc:
        bc = 1
    if ab == 1 and ac == 0 and bc == 1:
        return round()
    if ab == 0 and ac == 1 and bc == 0:
        return round()
    if ab == 1 and ac == 1:
        return 1
    else:
        return 0

T = int(1e5)

for i in range(10):
    na = 0
    for t in range(T):
        na += round()
    print("P(a win): {:.4f}".format(na  / T))

模拟结果

P(a win): 0.2997
P(a win): 0.2989
P(a win): 0.2999
P(a win): 0.2987
P(a win): 0.3007
P(a win): 0.3010
P(a win): 0.2991
P(a win): 0.2995
P(a win): 0.2975
P(a win): 0.3002

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