算法图算法

在有向图中判定环

字数统计: 927字   |   阅读时长: 4分
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摘要: 有向图的环

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在文章 在无向图中判定环 中，我们研究了无向图判定环的问题，本文以 207. 课程表 为模板题来看一下如何判断给定的有向图是否含有环，其算法为拓扑排序，如果拓扑排序不能将所有点排好，则图中存在环。用 BFS 或 DFS 进行拓扑排序均可。

有向图判定环

你这个学期必须选修 numCourses 门课程，记为 0 到 numCourses - 1 。

在选修某些课程之前需要一些先修课程。 先修课程按数组 prerequisites 给出，其中 prerequisites[i] = [ai, bi] ，表示如果要学习课程 ai 则 必须 先学习课程 bi 。

  • 例如，先修课程对 [0, 1] 表示：想要学习课程 0 ，你需要先完成课程 1 。

请你判断是否可能完成所有课程的学习？如果可以，返回 true ；否则，返回 false 。

提示：

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1 <= numCourses <= 2000
0 <= prerequisites.length <= 5000
prerequisites[i].length == 2
0 <= ai, bi < numCourses
prerequisites[i] 中的所有课程对 互不相同

示例 1：
输入：numCourses = 2, prerequisites = [[1,0]]
输出：true
解释：总共有 2 门课程。学习课程 1 之前，你需要完成课程 0 。这是可能的。

示例 2：
输入：numCourses = 2, prerequisites = [[1,0],[0,1]]
输出：false
解释：总共有 2 门课程。学习课程 1 之前，你需要先完成课程 0 ；并且学习课程 0 之前，你还应先完成课程 1 。这是不可能的。

算法1：DFS

在使用 DFS 对无向图判定环时，当前考查当前顶点 $u$ 的边，如果某条边 $uv$，其顶点 $v$ 不是 prev 点而又在此前遍历过，则形成环。

但对于有向图，遇到以前遍历过的顶点时，并不代表形成环，办法是标记当前搜索路径，当回溯后，相应点要从标记中去掉。

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visited[i] = 0 未考查过
visited[i] = 1 在当前搜索路径中
visited[i] = 2 已经考查过

DFS 判定有向图的环的逻辑中，只要在 DFS 回溯阶段加一个 list.add(v) 就可以顺便得到拓扑排序：拓扑排序。

代码 (C++)

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class Solution {
public:
    bool canFinish(int numCourses, vector<vector<int>>& prerequisites) {
        vector<vector<int> > g(numCourses);
        vector<int> indegrees(numCourses, 0);
        for(vector<int> &prerequisite: prerequisites)
        {
            g[prerequisite[1]].push_back(prerequisite[0]);
            ++indegrees[prerequisite[0]];
        }
        vector<int> visited(numCourses, 0);
        for(int i = 0; i < numCourses; ++i)
        {
            if(visited[i] != 0) continue;
            if(!dfs(g, i, visited))
                return false;
        }
        return true;
    }

private:
    bool dfs(const vector<vector<int> >& g, int node, vector<int>& visited)
    {
        if(visited[node] == 2)
            return true;
        if(visited[node] == 1) // 环
            return false;
        visited[node] = 1;
        for(int son: g[node])
            if(!dfs(g, son, visited))
                return false;
        visited[node] = 2;
        return true;
    }
};

算法2：拓扑排序

如果不能用拓扑排序将图中所有点都排好，则图中存在环。

只有 DAG 才能进行拓扑排序。

代码 (C++)

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class Solution {
public:
    bool canFinish(int numCourses, vector<vector<int>>& prerequisites) {
        vector<vector<int> > g(numCourses);
        vector<int> indegrees(numCourses, 0);
        for(vector<int> &prerequisite: prerequisites)
        {
            g[prerequisite[1]].push_back(prerequisite[0]);
            ++indegrees[prerequisite[0]];
        }

        queue<int> q;
        for(int i = 0; i < numCourses; ++i)
        {
            if(indegrees[i] == 0)
            {
                q.push(i);
            }
        }

        int n = numCourses;
        while(!q.empty())
        {
            int cur = q.front();
            q.pop();
            --n;
            for(int son: g[cur])
            {
                --indegrees[son];
                if(indegrees[son] == 0)
                    q.push(son);
            }
        }
        return n == 0;
    }
};
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