集合简史

摘要: 集合论发展史

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康托尔

黎曼 1854 年《关于用三角级数表示函数的可能性》中提出一个问题：给定一个函数，它的三角级数的表达式是否唯一？一些特殊类型的函数在一些假定的情况下，唯一性已经解决，但不普适。康托致力于给出普适的解得唯一性，并在 1872 年给出了唯一性定理的证明。

在研究函数的三角级数表达式的唯一性问题中，康托尔意识到无穷集合的重要性。因此继续研究离散和连续两者之间的区别，之后提出集合的概念，他对集合所下的定义是把若干确定的有区别的（不论是具体的或抽象的）事物合并起来，看作一个整体，就称为一个集合，其中各事物成为该集合的元素。

1973 年 12 月 7 日康托尔给戴德金的心中最早提出集合论思想，康托的集合论也就是现在的朴素集合论。

对于无穷集合，康托尔提出用一一对应准则来比较无穷集元素的个数。

把元素间能建立一一对应的集合称为个数相同，也就是等势。一个无穷集可以与它的真子集建立一一对应关系，这与传统观念“全体大于部分”相矛盾。而康托尔认为这恰恰是无穷集的特征。

康托尔证明了在所有的无穷集之间还存在着无穷多个层次。并且对各种不同的无穷大建立了一个完整的序列，称为超限数，也就是阿列夫谱系。

罗素

在庞加莱宣布完全严格的数学已经建立起来之后两年，也就是 1902 年，罗素提出了朴素悖论，由此引发第三次数学危机。

罗素构造了一个所有不属于自身（即不包含自身作为元素）的集合R。现在问R是否属于R？如果R属于R，则R满足R的定义，因此R不应属于自身，即R不属于R；另一方面，如果R不属于R，则R不满足R的定义，因此R应属于自身，即R属于R。这样，不论何种情况都存在着矛盾。

策梅洛

1908 年，策梅罗提出公理化集合论，后经弗伦迪克、冯诺依曼等人的改进，形成无矛盾的策梅洛-弗伦迪克集合论公理系统，简称 ZF 公理系统。原本直观的集合概念被建立在严格的公理基础之上，从而避免了悖论的出现。

ZF 系统加上选择公理之后，成为 ZFC 系统，沿用至今。在该系统中可以推导出朴素集合论的所有的结果，并且排除了罗素悖论等已知悖论。

哥德尔

1931 年哥德尔提出著名的哥德尔不完备定理，打破了希尔伯特将数学公理化的愿望，任何兼容性的体系，无法用于证明它本身的兼容性。也就是说，在公理集合论中，总会存在属于该系统本身，却又无法用该系统去证明的定理、假设等。

1940 年哥德尔证明了朴素集合论中的连续统假设 (CH) 以及选择公理 (AC) 对于 ZF 系统的相容性。

科恩

1963 年科恩证明了连续统假设 CH 和选择公理 AC 相对于 ZF 系统的独立性，即连续统假设在该系统中无法证明，与平行公理不可证明相同，也就是说，可以同时存在使得 CH 成立与不成立的系统。就像欧式几何与非欧几何一样 。

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