拓扑简史

摘要: 拓扑学发展史

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拓扑学是一门数学分支，研究几何图形变形下的不变性质。在几何抽象化的发展过程中，拓扑学也经历了漫长且复杂的历程，逐渐形成了现在的样子。

拓扑学发展成为一门独立的学科，有两个渊源，一个是几何，一个是分析的严格化。

在几何学中，圆形和多边形等形状是刚性对象。研究的工具是长度，角度和面积等。在拓扑学中，形状是柔性的，就像橡皮一样，可以自由拉伸和扭曲形状，如何研究这种柔性的形状就是拓扑学发展的一条主线，比较有名的抓手有 1736 年欧拉解决的七桥问题，以及 1750 年欧拉发表的多面体欧拉公式。

19 世纪数学的一个重要议题是分析的严格化。实数的严格定义使得康托从 1873 年开始系统开展欧式空间中点集的研究，得出许多拓扑概念，比如聚点、开集、闭集、稠密性、连通性等。在点集论的影响下，分析学中出现泛函的概念，把函数集看成几何对象并讨论其中的极限，引出抽象空间。

本文我们把拓扑学发展史中的关键的人和概念总结一下。

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古希腊时期

在古希腊时期，人们思考什么是空间，如何描述和计算它。主要研究欧式空间的性质和几何形状。

欧几里得

• 提出欧式几何的公理体系，并以此为基础建立了几何学体系，这套体系包括点、线、平面等概念。

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18世纪 ~ 19世纪

人们开始研究更抽象的数学问题。

欧拉

• 研究凸性的拓扑性质，具体就是连通性和欧拉特征数。
• 1750 年发表欧拉公式，描述欧式空间中多面体的面数、边数、顶点数的关系。
• 研究环和链的概念。
• 1736 年解决七桥问题。

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19世纪 ~ 20 世纪中叶

19世纪拓扑学作为一门独立学科开始形成，人们开始研究更抽象的问题，比如曲线和曲面。1847 年 Topology 这个词由利斯廷提出。

高斯

• 1833 年高斯在电动力学中用线积分定义了空间中两条封闭曲线的环绕数。

黎曼

• 1851年在复变函数研究中提出了黎曼面概念，解决了可定向闭曲面的同胚分类问题。
• 提出黎曼几何，这是一种非欧几何。
• 提出曲率和曲面的概念，并在此基础上研究复变函数理论。
• 1854 年发表《关于多元函数论的若干问题》，引入现代微分几何中定义的曲面和曲率的概念。

莫比乌斯

• 提出把空间看作橡皮做的，用以解释拓扑等价的想法。
• 1863 发表了《初等相关性理论》，分类了闭曲面及各种变换，将笛卡尔-欧拉示性公式推广到了不可定向曲面。

康托尔

• 系统开展欧式空间中点集的研究，得出许多拓扑概念，比如聚点、开集、闭集、稠密性、连通性等。

庞加莱

• 提出拓扑学最基本原理：同伦论。描述连续变形下的图形的等价性。
• 研究三维复形体，并开创三维流形的分类方案。
• 提出新的研究方法：奇点理论。
• 引入很多拓扑不变量：基本群、同调、贝蒂数、绕系数。
• 庞加莱猜想：任何两个三维闭合流形都可以通过有限次割接、粘贴和几何变形得到，这些操作不改变流形的拓扑结构。

塔斯基 (Tarski)

• 提出紧致空间的概念以及性质。

弗雷歇

• 1906 年引入度量空间的概念

豪斯多夫

• 1914 《集论大纲》中用开邻域定义了一般的拓扑空间，标志着用公理化方法研究连续性的一般拓扑学产生。
• 此后拓扑空间的理论逐渐完善，包括分离性、紧性、连通性、一致性空间、仿紧性等。

布劳威尔

• 1910 ~ 1912 提出用单纯映射逼近连续映射的方法。
• 引进同维流形之间的映射的度，用于研究同伦分类。
• 开创不动点理论。

J.W.亚历山大

• 1915 证明贝蒂数与绕系数的拓扑不变性。

诺特

• 提议把组合拓扑学建立在群论的基础上。

皮亚诺

• 从皮亚诺曲线引出维数以及连续统的研究。

外尔

• 强调抽象代数和拓扑学是理解数学的两种途径。

霍普夫

• 1928 定义了同调群。组合拓扑学逐步变成利用抽象代数的方法研究拓扑问题的代数拓扑。
• 同调论提供的不变量至今仍是拓扑学中最容易计算的不变量。

赫尔维茨

• 1935 引进拓扑空间的 n 维同伦群，其元素是从 n 维球面刀该空间的映射的同伦类，一维同伦群就是基本群。
• 同伦群提供了从拓扑到代数的过渡。

惠特尼

• 1935 给出微分流形的一般定义。并证明它总能嵌入高维欧式空间。

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