拓扑简史

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摘要: 拓扑学发展史

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拓扑学是一门数学分支,研究几何图形变形下的不变性质。在几何抽象化的发展过程中,拓扑学也经历了漫长且复杂的历程,逐渐形成了现在的样子。

拓扑学发展成为一门独立的学科,有两个渊源,一个是几何,一个是分析的严格化。

在几何学中,圆形和多边形等形状是刚性对象。研究的工具是长度,角度和面积等。在拓扑学中,形状是柔性的,就像橡皮一样,可以自由拉伸和扭曲形状,如何研究这种柔性的形状就是拓扑学发展的一条主线,比较有名的抓手有 1736 年欧拉解决的七桥问题,以及 1750 年欧拉发表的多面体欧拉公式。

19 世纪数学的一个重要议题是分析的严格化。实数的严格定义使得康托从 1873 年开始系统开展欧式空间中点集的研究,得出许多拓扑概念,比如聚点、开集、闭集、稠密性、连通性等。在点集论的影响下,分析学中出现泛函的概念,把函数集看成几何对象并讨论其中的极限,引出抽象空间。

本文我们把拓扑学发展史中的关键的人和概念总结一下。


古希腊时期

在古希腊时期,人们思考什么是空间,如何描述和计算它。主要研究欧式空间的性质和几何形状。

欧几里得

欧几里得(前330-前275)

  • 提出欧式几何的公理体系,并以此为基础建立了几何学体系,这套体系包括点、线、平面等概念。

18世纪 ~ 19世纪

人们开始研究更抽象的数学问题。

欧拉

欧拉(1707-1783)

  • 研究凸性的拓扑性质,具体就是连通性和欧拉特征数。
  • 1750 年发表欧拉公式,描述欧式空间中多面体的面数、边数、顶点数的关系。
  • 研究环和链的概念。
  • 1736 年解决七桥问题。

19世纪 ~ 20 世纪中叶

19世纪拓扑学作为一门独立学科开始形成,人们开始研究更抽象的问题,比如曲线和曲面。1847 年 Topology 这个词由利斯廷提出。

高斯

高斯(1777-1855)

  • 1833 年高斯在电动力学中用线积分定义了空间中两条封闭曲线的环绕数。

黎曼

黎曼(1826-1866)

  • 1851年在复变函数研究中提出了黎曼面概念,解决了可定向闭曲面同胚分类问题。
  • 提出黎曼几何,这是一种非欧几何。
  • 提出曲率和曲面的概念,并在此基础上研究复变函数理论。
  • 1854 年发表《关于多元函数论的若干问题》,引入现代微分几何中定义的曲面和曲率的概念。

莫比乌斯

莫比乌斯(1790-1868)

  • 提出把空间看作橡皮做的,用以解释拓扑等价的想法。
  • 1863 发表了《初等相关性理论》,分类了闭曲面及各种变换,将笛卡尔-欧拉示性公式推广到了不可定向曲面。

康托尔

康托尔(1845-1918)

  • 系统开展欧式空间中点集的研究,得出许多拓扑概念,比如聚点、开集、闭集、稠密性、连通性等。

庞加莱

庞加莱(1854-1912)

  • 提出拓扑学最基本原理:同伦论。描述连续变形下的图形的等价性。
  • 研究三维复形体,并开创三维流形的分类方案。
  • 提出新的研究方法:奇点理论。
  • 引入很多拓扑不变量:基本群同调贝蒂数绕系数
  • 庞加莱猜想:任何两个三维闭合流形都可以通过有限次割接、粘贴和几何变形得到,这些操作不改变流形的拓扑结构。

塔斯基 (Tarski)

塔斯基(1901-1983)

  • 提出紧致空间的概念以及性质。

弗雷歇

弗雷歇(1878-1973)

  • 1906 年引入度量空间的概念

豪斯多夫

豪斯多夫(1868-1942)

  • 1914 《集论大纲》中用开邻域定义了一般的拓扑空间,标志着用公理化方法研究连续性的一般拓扑学产生。
  • 此后拓扑空间的理论逐渐完善,包括分离性、紧性、连通性、一致性空间、仿紧性等。

布劳威尔

布劳威尔(1881-1966)

  • 1910 ~ 1912 提出用单纯映射逼近连续映射的方法。
  • 引进同维流形之间的映射的度,用于研究同伦分类。
  • 开创不动点理论

J.W.亚历山大

  • 1915 证明贝蒂数与绕系数的拓扑不变性。

诺特

诺特(1882-1935)

  • 提议把组合拓扑学建立在群论的基础上。

皮亚诺

皮亚诺(1858-1932)

  • 皮亚诺曲线引出维数以及连续统的研究。

外尔

外尔(1885-1955)

  • 强调抽象代数和拓扑学是理解数学的两种途径。

霍普夫

霍普夫(1894-1971)

  • 1928 定义了同调群。组合拓扑学逐步变成利用抽象代数的方法研究拓扑问题的代数拓扑。
  • 同调论提供的不变量至今仍是拓扑学中最容易计算的不变量。

赫尔维茨

赫尔维茨(1859-1919)

  • 1935 引进拓扑空间的 n 维同伦群,其元素是从 n 维球面刀该空间的映射的同伦类,一维同伦群就是基本群。
  • 同伦群提供了从拓扑到代数的过渡。

惠特尼

惠特尼(1907-1989)

  • 1935 给出微分流形的一般定义。并证明它总能嵌入高维欧式空间。

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