热传导方程的推导

摘要: 从一个实际问题出发，推导热传导方程

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在工作中，我们花时间做的事都是目标导向的，也就是先有了完成目标要解决的实际问题，为了解决实际问题我们才花大量的时间去做相应的事。业余时间我们看的书，学的习往往也是带着目标的，例如希望看的东西能在工作中用到，或者说知道工作中要用到才会花时间去看。写文的时候也是有一定的目标的，例如巩固自己对某项技术的理解，吸引读者，传播影响力等等。

在事事目标导向的背景下，我们偶尔也可以来点有的没的，写点不能当饭吃的东西。

今天我们聊聊为什么冷的时候蜷缩起来会感觉更暖和一些。

这种体验我想大多数人应该都有过，比如冬天的时候，被子刚铺好，钻进去的那一瞬间还是挺冷的，这个冷的感觉一般会持续几分钟。但是在刚钻进被子的时候，把身体立刻蜷缩起来，这种冷的感觉的缓解速度就快多了，可能几秒钟就好多了。这种现象怎么解释的。

我们从热力学的傅里叶定律说起，然后推导热传导方程，然后再由热传导方程解释回【蜷缩】更暖和这一现象。

问题梳理

首先我们要承认一个事实，就是对冷的感觉来源于神经对体表热量流失的反应，而冷的程度取决于体表热量流失的速度。

也就是说，冷热反应的是热量的流向问题，而不是绝对温度问题。换句话说就是，感觉到冷，是因为体表有热量流失而不是摸到的东西温度低；感觉到热，是体表有热量吸入而不是摸到的东西温度高。例如当你的双手浸泡过冷水以后，立即摸高于冷水水温的物体，会有一种温暖的感觉，哪怕那个物体的温度远远低于你的体温。

那么就说明了一件事，当身体蜷缩起来的时候，体表热量流出的速度会变慢，这才会使得我们感觉没那么冷了(还是冷，但是比不蜷缩身体好多了)。

那么我们要解释的就是，为什么身体蜷缩之后，热量从体表流出的速度会变慢。

我们把这个问题再抽象一下，提出下面这个问题。

对于体积相同，形状不同的同一物体(比如人体)，什么形状最能减少热量损失

我们尝试从几个数学物理中的经典理论出发，推出热传导方程，然后解决上面这个抽象后的问题。

这几个数学物理中的经典理论如下:

1. 热传导的傅里叶定律
2. 物体的比热容
3. 微积分中的高斯公式
4. 能量守恒定律

下面我们简要把每一个点的背景和最核心的结论概括一下，更详细的论述感兴趣的话可以找相关的资料，这里我们就直接承认这些结论，拿来用。

几个直接用的结论

1. 傅里叶定律

傅里叶是一个传奇人物，法国欧塞尔人，18~19世纪著名数学家、物理学家。主要贡献是在研究热的传播和《热的分析理论》，并创立一套数学理论。

《热的解析理论》现在有流传的版本，太理论了，而且对现实生活帮助不大，还是不建议看。即使真的想看点不能当饭吃的东西填充无聊时间，不如看香农的信息论和维纳的控制论，至少对现实有不少启发。

一般学电子信息和计算机的同学一提到傅里叶比较熟悉的是傅里叶变换，它是信号处理和分析的最基础的理论。其实傅里叶变换就是作为热过程的解析分析的工具提出的，只是后来人们发现傅里叶变换有很多非常好的性质，因此在各个领域都有广泛应用。

傅里叶变换最厉害的点在于它能把一个在原来的空间中本来不好解决的问题经过变换之后，在变换后的空间中成了一个好解决的问题，这是一种很牛逼的方法论。这种方法论对于我们的日常生活还是很有启发的，因为我们在生活中会遇到各种各样的难解问题。在机器学习中我们也能找到傅里叶变换的影子，比如在学习经典的机器学习书的时候，基本上都会有关于核方法的介绍，例如核 SVM 等等，它不是傅里叶变换，但是思想是很像的。

下面我们来看一下今天要用到的傅里叶定律是什么。

傅里叶定律是傅里叶在1822年提出的一条热力学定律。该定律指在热传导过程中，单位时间内通过给定截面的导热量，正比于垂直于该截面方向上的温度变化率和截面面积，而热量传递的方向则与温度升高的方向相反。

用形式化语言完整描述一下大致如下:

在 $dt$ 时间内，沿着某个面积元 $ds$ 的外法线方向 $\vec{e}_{n}$ 流过的热量 $d\vec{q}$ 与该面积元两侧的温度变化率 $\frac{\partial T}{\partial n}$ 成正比，比例系数是 k。由于自然条件下温度趋于减少，因此等式右边有个负号。

$$d\vec{q} = -k\frac{\partial T}{\partial n}\vec{e}_{n}dsdt$$

其中 T 是绝对温度，k 为导热系数(单位 $Wm^{-1}K^{-1}$)，$\vec{e}_{n}$ 为该面元的外法向单位向量。

傅立叶定律是热传导的基础。它并不是由热力学第一定律导出的数学表达式，而是基于实验结果的归纳总结，是一个经验公式。

我们后面推导热传导方程时，会直接使用上面的公式。

上面这个公式经过变形后，可以得到傅里叶定律的其它表述形式，并且可以类比到欧姆定律、电阻定律中，也很经典，这里简要看一下。

首先我们可以将等号右边的一部分定义为一个热流密度(单位 $W/m^{2}$)

$$J_{T} = -k\frac{\partial T}{\partial n}\vec{e}_{n}$$

也就是

$$I_{T} = \frac{d\vec{q}}{dt} = J_{T}ds$$

其中 $\frac{d\vec{q}}{dt}$ 是导热速率，记为 $I_{T}$，单位为 W。基于这个变形，我们可以得到傅里叶定律的几个电学推广。

推广1 — 导体放置在电场中产生电流

我们记 $E_{T} = \frac{\partial T}{\partial n}$ 为温度场强度，这样热流密度就写为

$$J_{T} = -kE_{T}$$

这就将傅里叶定律推广到了电学里关于电流密度，电导率，电场强度的公式。

$$J = \gamma E$$

其中 J 为电流密度 A/m，$\gamma$ 为导体的电导率，E 为电场强度。

傅里叶定律说的是: 将一个有一定热导率的物体放到温度场中，会产生热流。热流密度等于热导率乘以温度场强度。
推广到电学后就是: 将一个有一定电导率的导体放到电场中，会产生电流。电流密度等于电导率乘以电场强度。

推广2 — 欧姆定律

我们记 $\Delta U_{T} = -\Delta T$ 为温度差的相反数，即可得到:

$$\Delta U_{T} = R_{T}I_{T}$$

其中 $I_{T}$ 是我们前面定义的导热速率，$R_{T}$ 为热阻。

这样我们就将傅里叶定律推广到了电学里的欧姆定律(就是我们中学都学过的那个)。

推广3 — 电阻定律

将 $I_{T}$ 的公式代入推广 2 中的欧姆定律形式的傅里叶定律，得到长度为 L，面积为 A 的物体的热阻的公式:

$$R_{T} = \frac{\rho_{T}L}{A}$$

其中 $\rho_{T} = \frac{1}{k}$ 为热阻率。

这样就把傅里叶定律推广到了电学里的电阻定律。

$$R = \frac{\rho L}{S}$$

其中 $\rho$ 为制成电阻的材料的电阻率，L 为绕制成电阻的导线长度，S 为绕制成电阻的导线横截面积。

热阻与电阻类似，也满足串并联规则。

2. 物体的比热容

谈比热容之前我们先看一下热容是什么。

热容的标准定义是：“某个系统，由于加给其一微小的热量 dQ 而使得温度升高 dT 时，dQ/dT 这个是该系统的热容。通常以符号C表示，单位J/K。

$$C = \frac{dQ}{dT}$$

热容可以类比到电容去理解，电容是指系统在给定电位差 U 下自由电荷的储藏量 Q，记为C，单位是法拉 F。

$$C = \frac{Q}{U}$$

• 电容反映系统储存电荷的能力，在同样电位差下，电荷量越大，储存能力越强。
• 热容反映系统吸收热量的能力，在提升同样温度的情况下，吸收的热量越大，吸收热量能力越强。

电容的定义式虽然是 Q/U，但是电容并不由 Q 和 U 决定，而是由以下公式决定，其中 S 是极板的正对面积，d 是极板间的距离，$\epsilon$ 是极板间的介质的介电常数，k 是库仑力常数(类比引力常数)。

$$C = \frac{\epsilon S}{4\pi kd}$$

同样地，热容的定义式虽然是 dQ/dT，但是热容也是有其它各种因素决定的，例如物质种类、状态(例如固体，气体等等)、物质的质量和热交换的方式(例如定压，定容等等)有关。决定公式太复杂，就不写了。

如果我们考虑单位质量的热容，就得到比热容，用小写 c 表示。

$$c = \frac{1}{m}\frac{dQ}{dT}$$

3. 高斯公式

高斯公式也称为高斯通量理论，是矢量分析的重要定理之一。它说的是矢量穿过任意闭合曲面的通量等于矢量的散度对闭合面所包围的体积的积分。可以写成下面的形式。

$$\int\kern{-8pt}\int\limits_{\Sigma} \kern{-23mu} \bigcirc \vec{F}d\vec{s} = \iiint\limits_{\Omega}\nabla \vec{F}dV$$

4. 能量守恒定律

能量守恒定律是自然界普遍的基本定律之一。一般表述为：

能量既不会凭空产生，也不会凭空消失，它只会从一种形式转化为另一种形式，或者从一个物体转移到其它物体，而能量的总量保持不变。

热传导方程的推导

前面我们把需要的 4 个结论简要介绍了一下，现在我们在直接承认这些结论的基础上，推导热传导方程。

对于一个体积元 $\Omega$。考虑在位置为 (x, y, z) 的一个小体积 dxdydz，时间为 t1 的时候，它的温度为 T(x, y, z, t1)，时间为 t2 的时候，它的温度为 T(x, y, z, t2)。

那么这个小体积 dxdydz 吸收的热 $\Delta Q$ 通过比热容可以写为

$$\Delta Q = cm \Delta T = c\rho (T(x, y, z, t2) - T(x, y, z, t1))dxdydz$$

于是整个体积元 $\Omega$ 在时间范围 [t1, t2] 吸收的热量为

$$Q_{1} = \int_{t_{1}}^{t_{2}}\iiint\limits_{\Omega}c\rho\frac{\partial T}{\partial t}dxdydzdt$$

对于同样的体积元 $\Omega$，在 dt 时间内，通过小的表面积 ds 吸收的热为 dq，那么体积元通过表面吸收的热量为 dQ 可以写成下面的曲面积分

$$dQ = \int\kern{-8pt}\int\limits_{\Sigma} \kern{-23mu} \bigcirc d\vec{q}$$

由傅里叶定律，并且把 T 的方向导数写成梯度的形式，得到

$$dQ = \int\kern{-8pt}\int\limits_{\Sigma} \kern{-23mu} \bigcirc -k\frac{\partial T}{\partial n}\vec{e}_{n}dsdt = -\int\kern{-8pt}\int\limits_{\Sigma} \kern{-23mu} \bigcirc k\nabla Tdsdt$$

于是在时间范围 [t1, t2] 上，体积元 $\Omega$ 吸收的热量为

$$Q_{2} = \int^{t_{2}}_{t_{1}}(-dQ) = \int^{t_{2}}_{t_{1}}\int\kern{-8pt}\int\limits_{\Sigma} \kern{-23mu} \bigcirc k\nabla Tdsdt$$

由高斯公式

$$\begin{align} Q2 &= \int^{t_{2}}_{t_{1}}\int\kern{-8pt}\int\limits_{\Sigma} \kern{-23mu} \bigcirc k\nabla Tdsdt \\ &= \int^{t_{2}}_{t_{1}}\iiint\limits_{\Omega}\nabla(k\nabla T)dvdt \\ &= \int^{t_{2}}_{t_{1}}\iiint\limits_{\Omega}k\nabla^{2}Tdxdydzdt \\ \end{align}$$

由能量守恒定律，Q1 = Q2，于是

$$\int_{t_{1}}^{t_{2}}\iiint\limits_{\Omega}c\rho\frac{\partial T}{\partial t}dxdydzdt = \int^{t_{2}}_{t_{1}}\iiint\limits_{\Omega}k\nabla^{2}Tdxdydzdt \\$$

于是

$$c\rho\frac{\partial T}{\partial t} = k\nabla^{2}T = k(\frac{\partial^{2} T}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} T}{\partial y^{2}} + \frac{\partial^{2} T}{\partial z^{2}})$$

至此我们推出了热传导方程。

$$\frac{\partial T}{\partial t} = \frac{k}{c\rho}(\frac{\partial^{2} T}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} T}{\partial y^{2}} + \frac{\partial^{2} T}{\partial z^{2}})$$

一般的工科专业中，都会上复变函数与积分变换，以及数学物理方程这两门课，也有的专业会把这两门课合成一门，称为数学物理方法。比如我之前上的电子信息，学的就是数学物理方法。

当然数学物理方法不只是有复变函数、积分变换、数学物理方程这三块，这三块只是数学物理方法中关于微分方程的工具。除了微分方程以外，数学物理方法中还有场的研究，工具是矢量分析，还有对称性的研究，工具是群论，以及作用量的理论，工具是变分法。

这个热传导方程就是当时数学物理方法中讲的三大数学物理方程，另外两个是波动方程和泊松方程。

波动方程描述的是振动过程，推导的话主要就是从经典力学的 F = ma，以及理想气体的方程 pV = nKT 开始，结合微积分的结论推导出来的。

泊松方程描述稳定场的方程，例如静磁场，静电场。在热传导方程中当温度不再变化的时候，就形成了稳定热场，可以直接得到一个特殊的泊松方程就是拉普拉斯方程。

$$\nabla^{2}T = 0$$

在系统内要保持这种稳定的热场，需要系统与外部是没有热交换的，这个是不太现实的。也就是说在存在热交换的情况下，为了维持系统内部的温度不变，需要一个内部热源。

假设物体内有热源，在 dt 时间内，在 (x, y, z) 处，单位质量在时间 t 时产生的热量为 F(x, y, z, t)，F 称为热源强度，单位($J/(kg\cdot s)$)，那么对于小体积 dxdydz，t 时刻产生的热量为

$$\rho F(x, y, z, t)dxdydz$$

于是能量守恒定律重新写为

$$\int_{t_{1}}^{t_{2}}\iiint\limits_{\Omega}c\rho\frac{\partial T}{\partial t}dxdydzdt = \int^{t_{2}}_{t_{1}}\iiint\limits_{\Omega}(k\nabla^{2}T + \rho F)dxdydzdt \\$$

此时的热传导方程就变为：

$$\frac{\partial T}{\partial t} = \frac{k}{c\rho}(\frac{\partial^{2} T}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} T}{\partial y^{2}} + \frac{\partial^{2} T}{\partial z^{2}}) + \frac{F}{c}$$

也就是

$$\frac{\partial T}{\partial t} - \frac{k}{c\rho}\nabla^{2}T = \frac{F}{c}$$

在这样的热传导方程下，当温度不再变化时，得到泊松方程。

$$\nabla^{2}T = f \\ 其中\quad f = -F\rho/k$$

结论

回到我们最初要解决的问题

对于体积相同，形状不同的同一物体(比如人体)，什么形状最能减少热量损失

通过热传导方程的推导过程，我们可以得到有意思的结论：对于体积相同形状不同的同种物体，球形是最能减少热量损失的。

因为对于体积相同的同种物体，用内部热源将其从室温升高到相同的某一温度，其所需的热量是一致的，但是根据傅里叶积分公式，如果物体表面积的增加，那么它的面积分量也会增加，从而导致其散热更快，在相同时间内，其热量损失越多。球是相同体积下表面积最小的形状。

而人体需要保持恒温，也就是人体可以视为有一个内部的热源维持身体温度不变，相当于泊松方程描述的过程。但是当人蜷缩的时候，表面积变小，热传导的面积分量减少，单位时间内传导出人体的热量减少。人体内部热源的压力也会变小。

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