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k短路问题：AStar启发式搜索

字数统计: 3k字   |   阅读时长: 14分
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摘要: AStar 算法经典问题：k短路

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给定一个有向图，求 S 到 T 的最短路径长度是图算法中的基本问题，算法很多，参考文章 带权图最短路径算法与实现。

如果要求第 K 短的路，就不那么简单了，通过 AStar 启发式搜索是一种解决方法。本题可以作为 AStar 启发式搜索的经典例子。

K 短路问题

给定一张N个点（编号1,2…N），M条边的有向图，求从起点S到终点T的第K短路的长度，路径允许重复经过点或边。

注意： 每条最短路中至少要包含一条边。

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数据格式：
第一行包含两个整数N和M。
接下来M行，每行包含三个整数A,B和L，表示点A与点B之间存在有向边，且边长为L。
最后一行包含三个整数S,T和K，分别表示起点S，终点T和第K短路。

1 <= S,T <= N <= 1000
0 <= M <= 1e5
1 <= K <= 1000
1 <= L <= 100

算法：Dijkstra

源点 S 到所有点的单源最短路可以求出来，$d[u]$ 表示 $u$ 到 $s$ 的最短路径。这是图上的基本算法，参考以下文章：

这里是没有负权的单源最短路问题，适用 Dijkstra 算法，考虑 Dijkstra 算法的过程，优先级队列中的每个元素记录节点编号 $u$ 以及到源点的距离 $d$，优先级队列中状态按照 $d$ 从小到大排序。

当 $u$ 第一次出队的时候，弹出的信息中记录的到源点 $s$ 的距离即为 $u$ 到 $s$ 的最短路径，记为 $d[u]$。

如果优先级队列用的是普通的二叉堆，则当 $u$ 第一次出队后，队列中可能还有若干个 $u$ 节点，只是其对应的到源点 $s$ 的距离大于等于 $d[u]$。正因为队列中节点 $u$ 可能会有重复压入的情况（$s$ 到 $u$ 有多条路径），堆中元素的规模就是 $O(E)$（$E$ 为边数），而不是 $O(V)$，于是 Dijkstra 算法时间复杂度为 $O(E\log E)$。

此前我们也通过把普通二叉堆改为索引堆，将堆中元素个数从 $O(E)$ 降为 $O(V)$，总时间复杂度变为 $O(E\log V)$，参考文章：

如果我们保留堆中相同顶点 $u$ 对应的每个元素，这样 $u$ 弹出的顺序就是 $s$ 到 $u$ 的路径长度从小到大的顺序。那么当 $u$ 第 $k$ 次弹出的时候，就对应 $u$ 到 $s$ 的第 $k$ 短路径。

因此我们的基本算法就是在 Dijkstra 的基础上，取 $T$ 第 $k$ 次出队时对应的路径长度即可。后面我们会看到，直接跑这个算法会超时，在此基础上需要增加一些 AStar 启发式搜索。我们先写基本的 Dijkstra 算法，然后再增加启发式搜索 AStar 的策略。

状态设计

当节点 T 第 K 次出队的时候，得到 $S \rightarrow T$ 的 K 短路。

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struct State
{
    int u, d;
    State(int u, int d):u(u),d(d){}
};

struct Cmp
{
    bool operator()(const State& s1, const State& s2) const
    {
        return s1.d > s2.d;
    }
};

一些细节

  • $S \rightarrow T$ 如果不可达，则直接不求解 k 短路就可以返回 -1 了。
  • 优先级队列迭代过程中，需要能感知到队列中尚存在可以到达 T 的点。如果队列仍在迭代但是已经没有可以到达 T 的点了，则 $S \rightarrow T$ 的下一条路不会来了，返回 -1。
  • 当扩展到的节点 y 已经被取出 K 次的时候，就没有必要再压进队了。

以上三个问题可以一起处理：建图时候同时建立不带权的反图 rg，然后以 T 为源点，用哈希表记录所有 T 可以到达的点。

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void check(const vector<vector<int>>& rg, const int T, unordered_set<int>& setting)
{
    for(const int &son: rg[T])
    {
        if(setting.count(son))
            continue;
        setting.insert(son);
        check(rg, son, setting);
    }
}

对于第一个问题，如果 S 不在 setting 中，则 $S \rightarrow T$ 不可达：

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if(!setting.count(S))
{
    cout << "-1" << endl;
    return 0;
}

对于第二个问题和第三个问题，可以在节点压队之前同时处理：

  • 队列迭代时维护一个 cnts[i] 表示 i 被取出的次数。
  • 对于待入队的节点，只有属于可达 T 的节点集合，同时从队列中弹出的次数小于 K 的时候才压队。
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for(const To &son: g[cur.u])
{
    if(setting.count(son.v) && cnts[son.v] > 0)
        pq.push(State(son.v, cur.d + son.w));
}
  • S = T 的情况，也是需要先出去再进来的过程的才能算是有路的(可以是自环)。
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if(S == T)
    ++cnts[S];

代码 (C++)

注：超时。

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#include <vector>
#include <iostream>
#include <fstream>
#include <queue>
#include <climits>
#include <unordered_set>

using namespace std;

struct State
{
    int u, d;
    State(int u, int d):u(u),d(d){}
};

struct Cmp
{
    bool operator()(const State& s1, const State& s2) const
    {
        return s1.d > s2.d;
    }
};

struct To
{
    int v, w;
    To(int v, int w):v(v),w(w){}
};

void check(const vector<vector<int>>& rg, const int T, unordered_set<int>& setting)
{
    for(const int &son: rg[T])
    {
        if(setting.count(son))
            continue;
        setting.insert(son);
        check(rg, son, setting);
    }
}

int solve(const vector<vector<To>>& g, int S, int T, int K, const unordered_set<int>& setting)
{
    priority_queue<State, vector<State>, Cmp> pq;
    pq.push(State(S, 0));
    int N = g.size() - 1;
    vector<int> cnts(N + 1, K);
    if(S == T)
        ++cnts[S];
    while(!pq.empty())
    {
        State cur = pq.top();
        pq.pop();
        --cnts[cur.u];
        if(cnts[T] == 0)
            return cur.d;
        for(const To &son: g[cur.u])
        {
            if(setting.count(son.v) && cnts[son.v] > 0)
                pq.push(State(son.v, cur.d + son.w));
        }
    }
    return -1;
}

int main()
{
    int N, M;
    cin >> N >> M;
    vector<vector<To>> g(N + 1);
    vector<vector<int>> rg(N + 1); // 用于求所有可以到达 T 的上游节点
    for(int i = 1; i <= M; ++i)
    {
        int a, b, l;
        cin >> a >> b >> l;
        g[a].push_back(To(b, l));
        rg[b].push_back(a);
    }
    int S, T, K;
    cin >> S >> T >> K;

    // 记录反图中 T 可以到达的所有节点集合 setting
    unordered_set<int> setting;
    check(rg, T, setting);
    if(!setting.count(S))
    {
        cout << "-1" << endl;
        return 0;
    }
    int ans = solve(g, S, T, K, setting);
    if(ans == -1)
        cout << "-1" << endl;
    else
        cout << ans << endl;
}

优化：Astar

关于 AStar 算法的思想与实现，可以参考文章 Astar 算法的原理：优先级队列BFS+估价函数。

这里直接走流程：在优先级队列 BFS (Dijkstra) 基础上增加估价函数、并修改相应的状态设计。

估价函数

在反图 rg 上将终点 T 到各个点的最短距离预处理出来，记为 rd[u] 表示 u 到 T 的最短路径。

则估价函数可以定义如下：

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int h(const int u)
{
    return rd[u];
}

状态设计

增加 h 字段：

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struct State
{
    int u, d;
    int h;
    State(int u, int d, int h=0):u(u),d(d),h(h){}
};

struct Cmp
{
    bool operator()(const State& s1, const State& s2) const
    {
        return s1.d + s1.h > s2.d + s2.h;
    }
};

预处理 rd[u]

由于计算估价函数需要 rd[u] 信息，需要先预处理出来。

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vector<int> dijkstra(const vector<vector<To>>& rg, const int T)
{
    priority_queue<State, vector<State>, Cmp> pq;
    pq.push(State(T, 0));
    int N = rg.size() - 1;
    vector<int> d(N + 1, INT_MAX / 2);
    while(!pq.empty())
    {
        State cur = pq.top();
        pq.pop();
        if(d[cur.u] < cur.d)
            continue;
        for(const To &son: rg[cur.u])
        {
            if(cur.d + son.w >= d[son.v])
                continue;
            d[son.v] = cur.d + son.w;
            pq.push(State(son.v, cur.d + son.w));
        }
    }
    return d;
}

本题顶点是 1000 级别，边是 100000 级别，因此预处理 rd[u] 应该用数组实现 dijkstra。

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vector<int> dijkstra_array(const vector<vector<To>>& rg, const int T)
{
    int N = rg.size() - 1;
    vector<int> d(N + 1, INT_MAX / 2);
    for(const To &son: rg[T])
        d[son.v] = son.w;
    vector<bool> got(N + 1, false);
    for(int cnt = 1; cnt <= N - 1; ++cnt)
    {
        int minx = INT_MAX / 2;
        int u = -1;
        for(int i = 1; i <= N; ++i)
        {
            if(!got[i] && d[i] < minx)
            {
                minx = d[i];
                u = i;
            }
        }
        if(u == -1)
            return d;
        got[u] = true;
        for(const To &son: rg[u])
        {
            d[son.v] = min(d[son.v], d[u] + son.w);
        }
    }
    return d;
}

可达 T 的节点集合

预处理出 rd[u] 之后，所有 rd[u] != INT_MAX / 2 的都是，判断节点是否属于可达 T 的集合时，直接用预处理出的 rd 就可以了。

代码 (C++)

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#include <vector>
#include <iostream>
#include <fstream>
#include <queue>
#include <climits>
#include <unordered_set>

using namespace std;

struct State
{
    int u, d;
    int h;
    State(int u, int d, int h=0):u(u),d(d),h(h){}
};

struct Cmp
{
    bool operator()(const State& s1, const State& s2) const
    {
        return s1.d + s1.h > s2.d + s2.h;
    }
};

struct To
{
    int v, w;
    To(int v, int w):v(v),w(w){}
};

vector<int> dijkstra(const vector<vector<To>>& rg, const int T)
{
    priority_queue<State, vector<State>, Cmp> pq;
    pq.push(State(T, 0));
    int N = rg.size() - 1;
    vector<int> d(N + 1, INT_MAX / 2);
    while(!pq.empty())
    {
        State cur = pq.top();
        pq.pop();
        if(d[cur.u] < cur.d)
            continue;
        for(const To &son: rg[cur.u])
        {
            if(cur.d + son.w >= d[son.v])
                continue;
            d[son.v] = cur.d + son.w;
            pq.push(State(son.v, cur.d + son.w));
        }
    }
    return d;
}

vector<int> dijkstra_array(const vector<vector<To>>& rg, const int T)
{
    int N = rg.size() - 1;
    vector<int> d(N + 1, INT_MAX / 2);
    for(const To &son: rg[T])
        d[son.v] = son.w;
    vector<bool> got(N + 1, false);
    for(int cnt = 1; cnt <= N - 1; ++cnt)
    {
        int minx = INT_MAX / 2;
        int u = -1;
        for(int i = 1; i <= N; ++i)
        {
            if(!got[i] && d[i] < minx)
            {
                minx = d[i];
                u = i;
            }
        }
        if(u == -1)
            return d;
        got[u] = true;
        for(const To &son: rg[u])
        {
            d[son.v] = min(d[son.v], d[u] + son.w);
        }
    }
    return d;
}

int h(const int s, const vector<int>& rd)
{
    return rd[s];
}

int solve(const vector<vector<To>>& g, int S, int T, int K, const vector<int>& rd)
{
    priority_queue<State, vector<State>, Cmp> pq;
    pq.push(State(S, 0, h(S, rd)));
    int N = g.size() - 1;
    vector<int> cnts(N + 1, K);
    if(S == T)
        ++cnts[T];
    while(!pq.empty())
    {
        State cur = pq.top();
        pq.pop();
        --cnts[cur.u];
        if(cnts[T] == 0)
            return cur.d;
        for(const To &son: g[cur.u])
        {
            if(rd[son.v] < INT_MAX / 2 && cnts[son.v] > 0)
                pq.push(State(son.v, cur.d + son.w, h(son.v, rd)));
        }
    }
    return -1;
}

int main()
{
    int N, M;
    cin >> N >> M;
    vector<vector<To>> g(N + 1);
    vector<vector<To>> rg(N + 1); // 用于求所有可以到达 T 的上游节点
    for(int i = 1; i <= M; ++i)
    {
        int a, b, l;
        cin >> a >> b >> l;
        g[a].push_back(To(b, l));
        rg[b].push_back(To(a, l));
    }
    int S, T, K;
    cin >> S >> T >> K;

    vector<int> rd = dijkstra_array(rg, T);
    // vector<int> rd = dijkstra(rg, T);
    if(rd[T] == INT_MAX / 2)
    {
        cout << "-1" << endl;
        return 0;
    }
    int ans = solve(g, S, T, K, rd);
    if(ans == -1)
        cout << "-1" << endl;
    else
        cout << ans << endl;
}
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