数集合论

公理集合论一本书

字数统计: 1k字   |   阅读时长: 3分
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摘要: 介绍公理集合论的一本书

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公理集合论导引

书名: 公理集合论导引
时间: 1999

本书偏公理集合论。但在引入形式系统之前首先直观而又严谨地阐述了类、集合、序数、基数以及势的概念，为没有受过逻辑训练的读者掌握集合论的基本概念提供了方便。

第六章引进了集合论形式语言和ZF形式公理系统，对直观集合论中的概念和公理进行了形式化处理，并在此基础上建立了若干逻辑定理。后续各章介绍了公理集会论中的主要方法和结果。

直观阐述集合论基本概念

集合与类

  • 外延原则与概括原则
  • 空集合与对集合的存在原则
  • 幂集合的存在原则
  • 子集合分离原则
  • 关系
  • 函数
  • 单值化原则
  • 替换原则
  • 类与集合的封闭性运算
  • 存在极小元原则

序数

  • 自然数集合
  • 传递集合
  • 自然数集合的三歧性
  • 序数的定义
  • 序数的传递性与三歧性
  • 序数的性质
  • 超穷递归法
  • 序数算术
  • 良序关系、良序集合

基数

  • 可数序数
  • 基数的定义
  • 基数$\omega_{1}$
  • 大于$\omega_{1}$的基数
  • 基数的三歧性
  • 共尾性
  • 正则基数与奇异基数
  • 弱不可达基数
  • 序数的划分与良序集合的划分
  • $O_{n}$与$C_{a}$的同构性

秩、递归定理、良基关系

  • 传递闭包
  • 集合的秩与良基集合
  • 外延集合
  • 集合的分层
  • 函数的相容性
  • 递归定理
  • 超穷递归
  • 良基关系
  • 树
  • 良基的类关系
  • 同构

集合的势

  • 势的概念
  • 类$P_{o}$的偏序性
  • 康托尔定理
  • 连续统假设
  • 基数的初等运算
  • 来文海姆-斯科伦定理
  • 蔻尼定理
  • 不可达基数

集合论形式语言与ZF形式公理系统

公理与逻辑

  • 公理方法
  • ZF形式语言
  • ZF公理系统
  • 逻辑演算
  • 证明与定理
  • 协调性和可满足性
  • 完全性定理
  • 系统Z与替换公理
  • 正则公理
  • ZFC的有穷子系统
  • 形式推演
  • ZF可定义类

选择公理

  • 乘积定理
  • 良序定理
  • 左恩引理
  • 七条等价性定理
  • AC的三项推论
  • 决定性公理
  • ZF+AD的两条定理
  • 选择公理的几种弱形式

ZF语言中公式的层次

  • 公式集合$\sum_{0}$
  • 公式集合$\sum_{n}$与$\prod_{n}$
  • 公式集合$\Delta^{ZF}_{0}$
  • 可允许运算
  • $\Delta^{ZF}_{0}$中公式的补充
  • 元数学概念的形式化

AC、GCH相对ZF的协调性

  • 序数平面及配对函数
  • 序数平面上的九层楼
  • 基本运算
  • L的构造与性质
  • 可构成类
  • ZF的可构成模型L
  • L中的序数与可构成公理
  • 相对性与绝对性
  • 可构成公理在L中成立的证明
  • 序数集合与关系的同构性
  • $ZF\vdash V = L \rightarrow AC \wedge GCH$
  • L的另一定义

AC、GCH相对ZF的独立性

  • ZF的协调性问题
  • 扩充的ZF语言
  • 可数模型
  • $ZF+V=L$的可数标准构成性模型
  • 内模型方法
  • 价款模型与力迫条件
  • 标号空间及相应的形式语言
  • 力迫概念
  • 力迫关系的基本性质
  • 力迫关系的绝对性
  • 模型$N_{1}: ZF\not\vdash GCH+AC \rightarrow V = L$
  • 力迫概念
  • 连续统假设
  • 选择公理
  • 脱殊集合

类公理、聚合公理

  • 类的形式语言
  • NBG公理系统
  • GB系统中类的概括原则
  • NBG的协调性
  • QM公理系统
  • 超类及其公理系统
  • 聚合公理系统ACG
  • 二型序数
  • 二型序数的性质
  • 二型基数
  • 三项注记
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