算法动态规划

分组背包

字数统计: 770字   |   阅读时长: 3分

摘要: 分组背包

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本文我们以一个模板题看一下背包问题的变种之一：分组背包。分组背包是树形背包的基础，同时也是很多树形 DP 中状态转移的基本模型。

分组背包问题

有 N 组物品和一个容量是 V 的背包。

每组物品有若干个，同一组内的物品最多只能选一个。

每件物品的体积是 vij，价值是 wij，其中 i 是组号，j 是组内编号。

求解将哪些物品装入背包，可使物品总体积不超过背包容量，且总价值最大。

输出最大价值。

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输入格式
第一行有两个整数 N，V，用空格隔开，分别表示物品组数和背包容量。

接下来有 N 组数据：

每组数据第一行有一个整数 Si，表示第 i 个物品组的物品数量；
每组数据接下来有 Si 行，每行有两个整数 vij,wij，用空格隔开，分别表示第 i 个物品组的第 j 个物品的体积和价值；

输出格式
输出一个整数，表示最大价值。

数据范围
0<N,V<=100
0<Si<=100
0<vij,wij<=100

输入样例
3 5
2
1 2
2 4
1
3 4
1
4 5
输出样例：
8

算法：动态规划

将组数作为 DP 的阶段。转移始终是从第 i 组转移到第 i + 1 组，其中第 i 组只要选了一件物品，则必须要转移到第 i + 1 组。

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状态定义
dp[i][j] := 前 i 组中选择总体积 j 的物品放入背包的最大价值

转移：
s[i] 表示第 i 组的物品个数
dp[i][j] = max (
            dp[i - 1][j]   (不选第 i 组的物品)
            max(dp[i - 1][j - v[i][k]] + w[i][k]) 选择第 i 组的 k
                其中　1 <= k <= s[i]
        )

代码 (C++)

注意循环顺序：k 在 j 里面，因为每组最多选一个。

结合概念理解循环顺序：i 是阶段；i, j 共同构成状态；k 是决策。

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#include <vector>
#include <iostream>

using namespace std;

int main()
{
    int N;
    int V;
    cin >> N >> V;

    vector<vector<int> > v(N, vector<int>());
    vector<vector<int> > w(N, vector<int>());

    for(int i = 0; i < N; ++i)
    {
        int s;
        cin >> s;
        for(int j = 0; j < s; ++j)
        {
            int vv, ww;
            cin >> vv >> ww;
            v[i].push_back(vv);
            w[i].push_back(ww);
        }
    }

    vector<int> dp(V + 1, 0);
    for(int i = 1; i <= N; ++i)
    {
        int s = v[i - 1].size(); 
        for(int j = V; j >= 0; --j)
            for(int k = 0; k < s; ++k)
                if(j >= v[i - 1][k])
                    dp[j] = max(dp[j], dp[j - v[i - 1][k]] + w[i - 1][k]);
    }

    cout << dp[V] << endl;
    return 0;
}
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