数值计算经典算法

摘要: 一本计算数学非常经典的书，有点大部头

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• Numerical.Recipes.3rd.Edition

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线性方程组的解

• Gauss-Jordan消去法
• 反取代高斯消去法
• LU分解
• 三对角和带对角方程组
• 线性方程组解的迭代改进
• 奇异值分解
• 稀疏线性系统
• Vandermonde矩阵与Toeplitz矩阵
• Cholesky分解
• QR分解
• 矩阵求逆的时间复杂度

插值法与外推法

• 多项式插值与外推
• 三次样条插值
• 有理函数插值与外推
• 插值多项式的系数
• 多维网格上的插值
• 多维散乱数据的插值
• 拉普拉斯插值

积分

• 等间距横坐标的经典公式
• 基本算法
• 龙伯格积分
• 反常积分
• 变量变换求积
• 高斯求积和正交多项式
• 自适应求积
• 多维积分

函数

• 多项式与有理函数
• 连分数的求值
• 级数及其收敛性
• 递推关系与Clenshaw递推公式
• 复数运算
• 二次和三次方程
• 数值导数
• 切比雪夫近似
• 切比雪夫近似函数的导数或积分
• 切比雪夫系数的多项式逼近
• 幂级数缩减
• 帕德逼近
• 有理切比雪夫逼近
• 用路径积分法评价函数

特殊函数

• 伽玛函数，贝塔函数，阶乘，二项式系数
• 不完全伽马函数与误差函数
• 指数积分
• 不完全贝塔函数
• 整数阶贝塞尔函数
• 分数阶贝塞尔函数、艾里函数、球面贝塞尔函数
• 球谐函数
• 菲涅耳积分、余弦积分和正弦积分
• 道森积分
• 广义费米-狄拉克积分
• 函数xlog(x)的反函数
• 椭圆积分与雅可比椭圆函数
• 超几何函数
• 统计函数

随机数

• 均匀分布的偏差
• 完全散列大数组
• 其他分布的偏差
• 多元正态分布的偏差
• 线性反馈移位寄存器
• 哈希表和哈希存储器
• 简单蒙特卡罗积分
• 准随机序列
• 自适应和递归蒙特卡罗方法

排序与选择

• 插入排序
• 快速排序
• 堆排序
• 索引和排名
• 选择最大的M个值
• 等价类的确定

求根与非线性方程组

• 括号和二等分
• 割线法、试位法和Ridders方法
• Brent方法
• Newton-Raphson法
• 多项式的根
• 非线性方程组的Newton-Raphson方法
• 非线性方程组的全局收敛方法

函数的最值

• 区间定位
• 一维黄金分割搜索
• 一维抛物线插值与Brent方法
• 一维一阶导数搜索
• 多维下降单纯形法
• 多维线搜法
• 多维Powell方向集方法
• 多维共轭梯度法
• 多维拟牛顿法或变尺度法
• 线性规划：单纯形法
• 线性规划：内点法
• 模拟退火法
• 动态规划

特征值系统

• 对称矩阵的Jacobi变换
• 实对称矩阵
• 对称矩阵的三对角约化：Givens约化和Householder约化
• 三对角矩阵的特征值和特征向量
• 厄米特矩阵
• 实非对称矩阵
• 实Hessenberg矩阵的QR算法
• 改进特征值,通过逆矩阵求特征向量

快速傅里叶变换

• 离散采样数据的傅里叶变换
• 快速傅里叶变换（FFT）
• 实函数的FFT
• 快速正弦和余弦变换
• 二维或多维FFT
• 二维和三维真实数据的傅里叶变换
• 外部存储器或内存本地FFT

傅里叶变换谱的应用

• 使用FFT进行卷积和反卷积
• 使用FFT的相关和自相关
• 用FFT实现最优（维纳）滤波
• 基于FFT的功率谱估计
• 时域数字滤波
• 线性预测与线性预测编码
• 最大熵（全极点）法功率谱估计
• 非均匀采样数据的谱分析
• 用FFT计算Fourier积分
• 小波变换
• 抽样定理的数值应用

数据的描述性统计

• 分布的矩：均值、方差、偏度等
• 两个分布是否具有相同的均值或方差
• 两种分布是否不同
• 两种分布的列联表分析
• 线性相关
• 非参数或秩相关
• 分布的信息论性质
• 二维分布
• Savitzky-Golay平滑滤波器

数据建模

• 最小二乘法作为最大似然估计
• 将数据拟合到直线
• 两个坐标都有误差的直线数据
• 广义线性最小二乘法
• 非线性模型
• 估计模型参数的置信限
• 稳健估计
• 马尔可夫链蒙特卡罗
• 高斯过程回归

分类与推理

• 高斯混合模型与k-均值聚类
• 维特比解码
• 马尔可夫模型与隐马尔可夫模型
• 进化树的层次聚类
• 支持向量机

常微分方程

• 龙格库塔法
• Runge-Kutta自适应步长控制
• Richardson外推和Bulirsch-Stoer方法
• 二阶守恒方程
• 刚性方程组
• 多步骤、多值和预测-校正方法
• 化学反应网络的随机模拟

两点边值问题

• 打靶法
• 打靶到合适的位置
• 松弛方法
• 一个成功的例子：球谐函数
• 网格点的自动分配
• 处理内部边界条件或奇点

积分方程

• 第二类Fredholm方程
• Volterra方程
• 奇异核积分方程
• 微分方程反问题与先验信息的使用
• 线性正则化方法
• Backus-Gilbert特法
• 最大熵图像复原

偏微分方程

• 通量守恒初值问题
• 扩散初值问题
• 多维的初值问题
• 边值问题的Fourier和循环约化方法
• 边值问题的松弛方法
• 边值问题的多重网格方法
• 光谱法

计算几何

• 点和长方形
• KD树与最近邻查找
• 二维和三维的三角形
• 直线、线段和多边形
• 球体和旋转
• 三角剖分与Delaunay三角剖分
• Delaunay三角剖分的应用
• 四叉树和八叉树：存储几何对象

其它

• 绘制简单图形
• 诊断机器参数
• 格雷码
• 循环冗余与其他校验和
• 哈夫曼编码与数据压缩
• 算术编码
• 任意精度的算术运算

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