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力扣2908-元素和最小的山形三元组1

字数统计: 941字   |   阅读时长: 4分
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摘要: 峰谷类问题

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各位好，今天我们来看一个与数组中的峰谷相关的问题，主要涉及到通过前缀和的方式预处理出前缀和后缀的信息，然后再遍历数组计算答案。

在文章 峰谷类问题的贪心分析：山峰、山谷、上坡、下坡、平原 中我们通过一道题串讲了数组中与峰谷相关的几个概念、在文章 峰谷类问题分类汇总 中我们总结了一些与数组中的峰谷相关的问题，可以参考。

题目

给你一个下标从 0 开始的整数数组 nums 。

如果下标三元组 (i, j, k) 满足下述全部条件，则认为它是一个 山形三元组 ：

  • i < j < k
  • nums[i] < nums[j] 且 nums[k] < nums[j]

请你找出 nums 中 元素和最小 的山形三元组，并返回其 元素和 。如果不存在满足条件的三元组，返回 -1 。

提示：

1
2
3 <= nums.length <= 50
1 <= nums[i] <= 50

示例 1：
输入：nums = [8,6,1,5,3]
输出：9
解释：三元组 (2, 3, 4) 是一个元素和等于 9 的山形三元组，因为：

  • 2 < 3 < 4
  • nums[2] < nums[3] 且 nums[4] < nums[3]
    这个三元组的元素和等于 nums[2] + nums[3] + nums[4] = 9 。可以证明不存在元素和小于 9 的山形三元组。

示例 2：
输入：nums = [5,4,8,7,10,2]
输出：13
解释：三元组 (1, 3, 5) 是一个元素和等于 13 的山形三元组，因为：

  • 1 < 3 < 5
  • nums[1] < nums[3] 且 nums[5] < nums[3]
    这个三元组的元素和等于 nums[1] + nums[3] + nums[5] = 13 。可以证明不存在元素和小于 13 的山形三元组。

示例 3：
输入：nums = [6,5,4,3,4,5]
输出：-1
解释：可以证明 nums 中不存在山形三元组。

题解

算法: 前缀和预处理

枚举所有可能作为山峰的点 nums[1..n-2]，假设当前枚举到 nums[i]，如果左侧和右侧均存在比 nums[i] 小的元素，则存在以 nums[i] 为山峰的山形三元组。左侧和右侧均取最小值时，以 nums[i] 为山峰的山形三元组就取到了和的最小值。

因此我们需要预处理出 nums[i] 左侧以及右侧的最小值，定义 $L[i]$ 表示 nums[0..i] 中的最小值，$R[i]$ 表示 nums[i..n-1] 中的最小值。通过前缀和的方式即可对 $L$ 和 $R$ 进行预处理。

之后再枚举所有可能的山峰 $i$，即可高效地维护答案，若左边最小值 $L[i - 1]$ 与右边最小值 $R[i + 1]$ 均小于 $nums[i]$，则对答案做以下更新：

代码 (Python)

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INF = int(1e10)

class Solution:
    def minimumSum(self, nums: List[int]) -> int:
        n = len(nums)
        # L[i] := nums[0..i] 中的最小值
        # R[i] := nums[i..n-1] 中的最小值
        L = [INF] * n
        R = [INF] * n
        L[0] = nums[0]
        for i in range(1, n):
            L[i] = min(nums[i], L[i - 1])
        R[n - 1] = nums[n - 1]
        for i in range(n - 2, -1, -1):
            R[i] = min(nums[i], R[i + 1])
        ans = INF
        for i in range(1, n - 1):
            if L[i - 1] < nums[i] and R[i + 1] < nums[i]:
                ans = min(ans, L[i - 1] + nums[i] + R[i + 1])
        return ans if ans != INF else -1
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