一段时间内事件发生次数，泊松分布

摘要: 泊松分布的推导，涉及到极限、母函数、微元法

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泊松分布是重要的一类离散型分布，若随机变量 $X$ 的取值为 $0, 1, 2, \cdots$，且概率分布为：

$$P(X=i) = \frac{e^{-\lambda}\lambda^{i}}{i!}$$

则称 $X$ 服从泊松分布，记为 $X \sim P(\lambda)$，这里 $\lambda > 0$ 为常数。

在业务场景中当随机变量 $X$ 表示在一定时间或空间内某个事件出现的次数时，往往考虑将 $X$ 建模为泊松分布。例如泊松分布适合描述在一定时间内某个交通路口的事故个数；某一服务设施在一定时间内到达的人数，机器出现的故障数，等等。当事件以固定的平均瞬时速率（密度） $\lambda$ 随机且独立地出现时，那么这个事件在单位时间（空间）内出现的次数就近似服从泊松分布 $P(\lambda)$。

泊松分布的一些特性如下：

• 期望：$E(X) = \lambda$
• 方差：$Var(X) = \lambda$
• 特征函数：$\psi(X) = \exp{(\lambda(e^{it} - 1))}$

本文我们就从几个不同的角度推导出这个重要的离散型分布，不同的角度会涉及到不同的数学概念。从这个经典分布的推导过程，我们可以了解到很多数学工具的应用，比如分析学中的极限、物理学中的微元法、组合数学中的母函数等，值得推一下。

推导方式1：泊松定理

首先考虑二项分布。记一个事件 A 在一次试验中发生的概率为 $p$，将此试验独立重复 $n$ 次，记 $X$ 为 A 在这 n 次试验中发生的次数，则 $X$ 可以取 $0, 1, 2, \cdots, n$，通过组合数学方法可以得出：

$$P(X=i) = \binom{n}{i}p^{i}(1-p)^{n-i}$$

该分布称为二项分布，记为 $X \sim B(n, p)$。

$X \sim B(n, p)$ 有两个关键点，一个是各次试验的条件是稳定的，这保证了 $p$ 在各次试验时保持不变；二是各次试验的独立性，满足这两条的多次试验称为伯努利试验。现实中很多现象近似符合这两个条件，例如工厂每天生产 n 个产品，工程的原材料质量、机器设备、工人操作水平在一段时间内大致保持稳定，且每件产品的合格与否与其它产品是否合格并无显著关联，则每日的废品数 $X$ 就大致服从二项分布。

有了二项分布之后，我们可以进一步考虑，在伯努利试验中，事件 A 出现的次数 $X \sim B(n, p)$，当重复次数 $n$ 很大而概率 $p$ 很小时，$P(X=i)$ 有近似公式，这就是由法国数学家泊松提出的泊松定理，这个近似公式就是泊松分布。定理内容如下：

在独立试验中，事件 A 在试验中出现的概率与试验总数 $n$ 有关，记为 $p_{n}$，$n$ 次试验中，事件 A 出现的次数记为 $X$，$X \sim B(n, p_{n})$。有：

$$P(X=i;n, p_{n}) = \binom{n}{i}p_{n}^{i}(1 - p_{n})^{n-i}$$

记 $\lambda_{n} = np_{n}$，如果 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\lambda_{n} = \lambda$，那么有：

$$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}P(X=i;n, p_{n}) = \frac{1}{i!}\lambda^{i}e^{-\lambda}$$

泊松定理的证明过程就是从二项分布推出了泊松分布的过程。下面我们以极限和母函数两个角度来证明泊松定理。

证明1：极限

$$\begin{align} \lim\limits_{n\rightarrow\infty}P(X=i;n, p_{n}) &= \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\binom{n}{i}p_{n}^{i}(1 - p_{n})^{n-i} \\ &= \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{n!}{i!(n-i)!}\frac{\lambda_{n}^{i}}{n^{i}}(1 - \frac{\lambda_{n}}{n})^{n}(1 - \frac{\lambda_{n}}{n})^{-i} \\ &= \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{n(n-1)\cdots(n-i+1)}{n^{i}}\frac{\lambda_{n}^{i}}{i!}(1 - \frac{\lambda_{n}}{n})^{n}(1 - \frac{\lambda_{n}}{n})^{-i} \\ \end{align}$$

将 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\lambda_{n} = \lambda$ 代入，有：

$$\begin{align} \lim\limits_{n\rightarrow\infty}P(X=i;n, p_{n}) &= \frac{\lambda^{i}}{i!}\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{n(n-1)\cdots(n-i+1)}{n^{i}}(1 - \frac{\lambda}{n})^{n}(1 - \frac{\lambda}{n})^{-i} \\ &= \frac{\lambda^{i}}{i!} \times 1 \times e^{-\lambda} \times 1 \\ &= \frac{\lambda^{i}}{i!}e^{-\lambda} \end{align}$$

证明2：母函数

对于离散型分布，用母函数进行研究是一种方法。对于数列 $c_{0}, c_{1}, \cdots$，母函数的定义为 $G(x) = \sum\limits_{i=0}\limits^{\infty}c_{i}x^{i}$。母函数与数列之间一一对应。

在组合数学中，$c_{i}$ 为计数序列，母函数可以用于研究组合计数的问题。例如伯努利(1654~1705)通过 $(x + x^{2} + x^{3} + x^{4} + x^{5} + x^{6})^{m}$ 中 $x^{n}$ 的系数表示投 m 粒骰子出 n 点有几种方法。

如果 $c_{i}$ 表示离散型随机变量的概率的序列，记为 $P_{i} = P(X=i)$，那么用母函数 $G(x) = \sum\limits_{i=0}\limits^{\infty}P_{i}x^{i}$ 来研究离散型分布是很自然的想法。

对于二项分布 $X \sim B(n, p_{n})$，$P_{i} = \binom{n}{i}p_{n}^{i}(1-p_{n})^{n-i}$，于是：

$$\begin{align} G(x) &= \sum\limits_{i=0}\limits^{\infty}P_{i}x^{i} \\ &= \sum\limits_{i=0}\limits^{n}\binom{n}{i}p_{n}^{i}(1-p_{n})^{n-i}x^{i} \\ &= \sum\limits_{i=0}\limits^{n}\binom{n}{i}(1-p_{n})^{n-i}(p_{n}x)^{i} \\ \end{align}$$

由二项式定理，得到 $G(x) = (1 - p_{n} + p_{n}x)^{n}$。

于是：

$$\begin{align} G(x) &= (1 - p_{n} + p_{n}x)^{n} \\ &= (1 + p_{n}(x - 1))^{n} \\ &= (1 + \frac{np_{n}(x - 1)}{n})^{n} \\ \end{align}$$

将 $\lambda_{n} = np_{n}$, $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\lambda_{n} = \lambda$ 代入：

$$\begin{align} \lim\limits_{n\rightarrow\infty}G(x) &= \lim\limits_{n\rightarrow\infty}(1 + \frac{np_{n}(x - 1)}{n})^{n} \\ &= \lim\limits_{n\rightarrow\infty}(1 + \frac{\lambda(x - 1)}{n})^{n} \\ &= e^{\lambda(x-1)} \\ \end{align}$$

而 $e^{\lambda(x-1)}$ 正是泊松分布 $P^{‘}_{i} = \frac{\lambda^{i}}{i!}e^{-\lambda}$ 的母函数，推导如下：

$$\begin{align} G^{'}(x) &= \sum\limits_{i=0}\limits^{\infty}P_{i}^{'}x^{i} \\ &= \sum\limits_{i=0}\limits^{\infty}\frac{\lambda^{i}}{i!}e^{-\lambda}x^{i} \\ &= e^{-\lambda}\sum\limits_{i=0}\limits^{\infty}\frac{(\lambda x)^{i}}{i!} \\ &= e^{-\lambda}e^{\lambda x} \\ &= e^{\lambda(x-1)} \\ \end{align}$$

于是 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}G(x) = G^{‘}(x)$，由于母函数与数列一一对应，可以得到待证的泊松定理：

$$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}P(X=i;n, p_{n}) = \lim\limits_{n\rightarrow\infty}P_{i} = P_{i}^{'} = \frac{1}{i!}\lambda^{i}e^{-\lambda}$$

推导方式2：微元法

前面的推导方式是先给出了泊松定理的结论，证明的过程就是从二项分布推出泊松分布的过程。这里我们从泊松分布的产生机制的角度考虑，在不知道结论的情况下，从二项分布推导出泊松分布。

我们经常遇到在随机时刻出现的某种事件，这些在随机时刻相继出现的事件所形成的序列，称为随机事件流。

如果事件流具有平稳性、无后效性、稀疏性，称该事件流为泊松事件流（泊松流）。具体含义如下：

• 平稳性指的是在任意时间区间内，事件发生 k 次的概率只依赖于区间长度，而与区间端点无关。
• 无后效性表示在不重叠的时间段内，事件的发生是相互独立的。
• 稀疏性是指如果时间区间充分小，事件出现两次或两次以上的概率可以忽略不计。

对于泊松流，在任意时间间隔 $(0, t)$ 内，事件出现的次数服从参数为 $\lambda t$ 的泊松分布，$\lambda$ 称为泊松流的强度。

设观察的时间区间为 $[0, 1)$，取一个很大的自然数 $n$，把时间段 $[0, 1)$ 分为等长的 $n$ 段：

$$l_{1} = [0, \frac{1}{n}), \cdots, l_{i} = [\frac{i-1}{n}, \frac{i}{n}), \cdots, l_{n} = [\frac{1}{n}, 1)$$

基于泊松流的三个性质，我们做以下三个假设：

(1) 基于平稳性我们做假设：在每段 $l_{i}$ 内，恰好发生一个事件的概率，近似地与这段时间的长度 $\frac{1}{n}$ 成正比，记为 $\frac{\lambda}{n}$。

(2) 基于无后效性我们做假设：$l_{1}, \cdots, l_{n}$ 各个时间段是否发生事故是独立的。

(3) 基于稀疏性我们做假设：当 $n$ 很大也就是 $\frac{1}{n}$ 很小时，在 $l_{i}$ 这段时间内发生两次或更多事件是不可能的。

把在 $[0, 1)$ 时段内发生的事故数 $X$ 视为 $n$ 个小的时间段 $l_{1}, \cdots, l_{n}$ 内有事故发生的时段数，按前面的三条假设，$X \sim B(n, \frac{\lambda}{n})$，于是：

$$P(X=i) = \binom{n}{i}(\frac{\lambda}{n})^{i}(1 - \frac{\lambda}{n})^{n-i}$$

当 $n \rightarrow \infty$ 时：

$$\binom{n}{i} / n^{i} = \frac{n!}{i!(n-i)!n^{i}} \rightarrow \frac{1}{i!}$$ $$(1 - \frac{\lambda}{n})^{n} \rightarrow e^{-\lambda}$$

因此：

$$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\binom{n}{i}(\frac{\lambda}{n})^{i}(1 - \frac{\lambda}{n})^{n-i} = \frac{1}{i!}\lambda^{i}e^{-\lambda}$$

也就是说当 $n \rightarrow \infty$ 时，$P(X=i) = \frac{1}{i!}\lambda^{i}e^{-\lambda}$，这正是泊松分布。

通过上述推导可以知道：若 $X \sim B(n, p)$，n 很大，p 很小，而 $np = \lambda$ 不太大时，X 的分布接近于泊松分布。

总结

本文从二项分布出发，推导出了我们熟知的泊松分布的概率密度函数。推导过程涉及到的数学知识包括极限、母函数、微元法等，并不高深，但都是非常经典的工具和思想。

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