入门级常微分方程小结

摘要: 常微分方程及其解的定义，初等积分法可以解决的方程

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在对业务进行数学建模的过程中，我们经常会考虑用到常微分方程。这是一个非常迷人的领域，历史非常悠久，主要原因就在于它扎根在各种实际问题中。比如牛顿最早用数学方法研究二体问题，理论上得出了地球绕太阳运动轨道为椭圆。

而现代常微分方程的体系已经发展的很大，最重要的理论基础是解的存在性、唯一性定理，以及解对初值及参数的连续性、可微性定理；高阶线性微分方程和线性微分方程组也是重要内容，需要引入向量、矩阵等工具。幂级数解法也是非常重要的内容。以及一些高级内容，比如定性理论、分支理论、边值问题、首次积分等。

在考研中，只需要掌握最简单的初等积分法，主要内容是微分方程发展早期，由牛顿、莱布尼茨、伯努利兄弟、欧拉等人在解决实际问题时陆续发现的一些技巧。

本文我们回顾一下常微分方程及其解的定义，盘点一下初等积分法的若干技巧以及可以解决的问题。

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常微分方程

联系自变量 $x$，与这个自变量的未知函数 $y = y(x)$，以及其导数 $y’ = y’(x)$，以及直至 $n$ 阶导数 $y^{(n)} = y^{(n)}(x)$ 在内的方程：

$$F(x, y, y', \cdots, y^{(n)}) = 0$$

称为常微分方程。导数的最高阶数称为常微分方程的阶。注意 $F$ 需要是已知函数。因此类似 $y’(x) = y(y(x))$ 和 $y’(x) = y(x - 1)$ 不是常微分方程。

如果 $F$ 对 $y, y’, \cdots, y^{n}$ 均是一次的，称其为线性常微分方程，否则为非线性常微分方程。

常微分方程的解

设函数 $y = \phi(x)$ 在区间 $J$ 上连续，且有直至 $n$ 阶的导数。如果把 $y = \phi(x)$ 及其相应的各阶导数代入方程 $F(x, y, y’, \cdots, y^{(n)}) = 0$，得到关于 $x$ 的恒等式：

$$F(x, \phi(x), \phi'(x), \cdots, \phi^{(n)}(x)) = 0$$

对 $\forall x \in J$ 均成立，称 $y = \phi(x)$ 为常微分方程 $F(x, y, y’, \cdots, y^{(n)}) = 0$ 在区间 $J$ 上的一个解。

任意常数、通解和特解

$n$ 阶常微分方程 $F(x, y, y’, \cdots, y^{(n)}) = 0$ 的解包含 $n$ 个独立的任意常数 $C_{1}, C_{2}, \cdots, C_{n}$，则称其为通解，如下：

$$y = \phi(x, C_{1}, C_{2}, \cdots, C_{n})$$

这里独立的含义是也就是在 $J$ 上以下函数组线性无关：

$$\begin{bmatrix} \phi(x, C_{1}, C_{2}, \cdots, C_{n}) \\ \phi'(x, C_{1}, C_{2}, \cdots, C_{n}) \\ ... \\ \phi^{(n-1)}(x, C_{1}, C_{2}, \cdots, C_{n}) \\ \end{bmatrix}$$

也就是在 $J$ 上以下 Jacobi 行列式不为零函数：

$$\frac{D[\phi, \phi', \cdots, \phi^{(n-1)}]}{D[C_{1}, C_{2}, \cdots, C_{n}]} = \begin{vmatrix} \frac{\partial \phi}{\partial C_{1}} & \frac{\partial \phi}{\partial C_{2}} & \cdots & \frac{\partial \phi}{\partial C_{n}} \\ \frac{\partial \phi'}{\partial C_{1}} & \frac{\partial \phi'}{\partial C_{2}} & \cdots & \frac{\partial \phi'}{\partial C_{n}} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ \frac{\partial \phi^{(n-1)}}{\partial C_{1}} & \frac{\partial \phi^{(n-1)}}{\partial C_{2}} & \cdots & \frac{\partial \phi^{(n-1)}}{\partial C_{n}} \\ \end{vmatrix}$$

不含任意常数的解 $y = \phi(x)$ 称为特解。

微分方程的求解与一定的积分运算联系，每进行一次不定积分运算，会产生一个任意常数，因此就微分方程本身得积分（不考虑定解条件）而言，n 阶微分方程的解应该包含 n 个任意常数（严格证明参考首次积分的理论）。

反过来，设 $y = g(x, C_{1}, C_{2}, \cdots, C_{n})$ 是充分光滑（具有所需的各阶导数）的函数族。其中 $x$ 为自变量，$C_{1}, C_{2}, \cdots, C_{n}$ 为 n 个独立的参数（任意常数）。则存在一个形如 $F(x, y, y’, \cdots, y^{(n)}) = 0$ 的 n 阶微分方程，使得其通解恰好是给定的函数族 $y = g(x, C_{1}, C_{2}, \cdots, C_{n})$（通过两边求导，构造性证明即可）。

定解条件1：初值问题

自由落体运动

自由落体运动指的是只考虑重力对落体的作用，忽略空气阻力等外力的影响，落体做垂直于地面的运动。

$y = y(t)$ 表示物体的高度。一阶导数 $y’ = y’(t)$ 表示落体的瞬时速度 $v = v(t)$，而二阶导数 $y’’ = y’’(t)’$ 表示落体的瞬时加速度 $a = a(t)$。

由牛顿第二定律：

$$my'' = -mg$$

于是我们得到微分方程 $y’’ = -g$。

等式两端同时对 $t$ 积分两次，得到通解：

$$y = -\frac{1}{2}gt^{2} + C_{1}t + C_{2}$$

初值问题

从前面的例子可以看到，微分方程描述的是物体运动的瞬时（局部）规律，求解微分方程，就是从这种瞬时（局部）规律出发，获得运动的全过程。因此，需要给定运动的初始状态，也就是初值条件。在上面的自由落体问题中，初值条件就是初始时刻的位置 $y(0) = y_{0}$ 和速度 $y’(0) = v_{0}$。

$n$ 阶微分方程的初值问题可以抽象成以下形式：

$$\left\{ \begin{array}{**lr**} y^{(n)} = F(x, y, y', \cdots, y^{(n-1)}) \\ y(x_{0}) = y_{0}, y'(x_{0}) = y'_{0}, \cdots, y^{(n-1)}(x_{0}) = y^{(n-1)}_{0} \end{array} \right.$$

通过初值条件，可以确定通解中的任意常数。

当 $F$ 满足什么条件时，以上初值问题的解是存在的，进一步是唯一的，是一个重要问题。

定解条件2：边值问题

悬链线问题

悬链线的问题如下图，有一个理想的柔软而不能伸缩的细线，把它悬挂在两个顶点 $P_{1}$ 和 $P_{2}$ 之间，假设这细线只受到重力作用，求悬链线的形状。

令 $\gamma$ 表示单位长细线所受到的重力。任取悬链线 $y = y(x)$ 上一小段弧 $\overset{\frown}{PQ}$，设 $P$, $Q$ 坐标分别为 $(x, y(x)), (x + \Delta x, y(x + \Delta x))$，弧 $\overset{\frown}{PQ}$ 长度为 $\Delta s$，其中 $s$ 表示弧 $\overset{\frown}{P_{1}P}$ 的长度。

则小段弧 $\overset{\frown}{PQ}$ 所受的重力为：

$$W = \gamma\cdot\Delta s$$

重力方向垂直向下，此外 $\overset{\frown}{PQ}$ 还收到张力 $F_{1}$ 和 $F_{2}$（如图）。它们分别在 P 点和 Q 点沿着切线方向。

令 $F_{1}, F_{2}$ 的水平分量分别为 $H_{1} = H(x)$ 和 $H_{2} = H(x + \Delta x)$；垂直分量分别为 $V_{1} = V(x)$ 和 $V_{2} = V(x + \Delta x)$。

由平衡条件，有：

$$H_{2} - H_{1} = 0 \\ V_{2} - V_{1} - W = 0$$

因此 $H(x) = H_{0}$ 为常数，$V(x + \Delta x) - V(x) = \gamma\cdot\Delta s$。

由拉格朗日中值定理，$\exists \theta \in (0, 1)$ 使得 $V(x + \Delta x) - V(x) = V’(x + \theta \Delta x)\Delta x$，也就是 $V’(x + \theta \Delta x)\Delta x = \gamma\cdot\Delta s$，取 $\Delta x \rightarrow 0$，有：

$$V'(x) = \gamma\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}x}$$

拉格朗日中值定理
$f$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 可导，则 $\exists \xi \in (a, b)$ 使得：

$$\frac{f(b) - f(a)}{b - a} = f'(\xi)$$

另一种写法：$\exists \theta \in (0, 1)$ 使得：

$$\frac{f(b) - f(a)}{b - a} = f'(a + \theta(b - a))$$

由弧长公式有 $\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}x} = \sqrt{1 + (y’(x))^{2}}$

$(x, y(x))$ 点的张力的方向与该点的切线方向相同，因此 $V(x) = H(x)y’(x) = H_{0}y’(x)$，带入到 $V’(x) = \gamma\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}x}$，得到：

$$H_{0}y''(x) = \gamma\sqrt{1 + (y'(x))^{2}}$$

由此得到悬链线 $y(x)$ 满足的微分方程：

$$y'' = \frac{\gamma}{H_{0}}\sqrt{1 + (y'(x))^{2}}$$

注意悬链线微分方程中有一个未知的 $H_{0}$，如果已知悬链线的长度 $L$，则可以通过弧长的曲线积分公式把 $H_{0}$ 代换掉。

边值问题

$y = y(x)$ 需要满足满足左端点 $y(x_{1}) = y_{1}$ 和右端点 $y(x_{2}) = y_{2}$。称其为边值条件。

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初等积分法可以解决的部分一阶微分方程

一阶微分方程一般可以写成对称形式 $P(x, y)\mathrm{d}x + Q(x, y)\mathrm{d}y = 0$，对于一阶微分方程有一些情况可以直接用初等积分法解决。

恰当方程（全微分方程）

考虑对称形式的一阶微分方程：

$$P(x, y)\mathrm{d}x + Q(x, y)\mathrm{d}y = 0$$

如果存在一个可微函数 $\Phi(x, y)$，使得它的全微分为：

$$\mathrm{d}\Phi(x, y) = P(x, y)\mathrm{d}x + Q(x, y)\mathrm{d}y$$

也就是其偏导数为：

$$\frac{\partial{\Phi}}{\partial{x}} = P(x, y), \frac{\partial{\Phi}}{\partial{y}} = Q(x, y)$$

则称该一阶微分方程为恰当方程（全微分方程）。通解为 $\Phi(x, y) = C$，也称为通积分。

定理（全微分方程判定、全微分的原函数求法）

设函数 $P(x, y)$, $Q(x, y)$ 在区域 $R: \alpha < x < \beta, \gamma < y < \delta$ 上连续，且有连续的一阶偏导数 $\frac{\partial{P}}{\partial{y}}$, $\frac{\partial{Q}}{\partial{x}}$，则微分方程 $P(x, y)\mathrm{d}x + Q(x, y)\mathrm{d}y = 0$ 是全微分方程的充要条件为以下恒等式在区域 $R$ 上成立：

$$\frac{\partial{P}}{\partial{y}}(x, y) \equiv \frac{\partial{Q}}{\partial{x}}(x, y)$$

且当以上条件成立时，全微分方程 $P(x, y)\mathrm{d}x + Q(x, y)\mathrm{d}y = 0$ 的通积分为：

$$\int_{x_{0}}^{x}P(x, y)\mathrm{d}x + \int_{y_{0}}^{y}P(x_{0}, y)\mathrm{d}y$$

或者：

$$\int_{x_{0}}^{x}P(x, y_{0})\mathrm{d}x + \int_{y_{0}}^{y}P(x, y)\mathrm{d}y$$

其中 $(x_{0}, y_{0})$ 为区域 $R$ 上任意一点。

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求解全微分方程的关键是构造相应全微分的原函数 $\Phi(x, y)$，这实际上是场论中的位势问题。在单连通区域 $R$ 上，$\frac{\partial{P}}{\partial{y}}(x, y) \equiv \frac{\partial{Q}}{\partial{x}}(x, y)$ 保证了以下曲线积分与积分的路径无关，上面定理中中取的两个计算公式只是两个比较好算的特殊路径：

$$\Phi(x, y) = \int_{(x_{0}, y_{0})}^{(x, y)}P(x, y)\mathrm{d}x + Q(x, y)\mathrm{d}y$$

变量分离方程

考虑对称形式的一阶微分方程：

$$P(x, y)\mathrm{d}x + Q(x, y)\mathrm{d}y = 0$$

如果 $P(x, y)$ 和 $Q(x, y)$ 均可以表示为 $x$ 的函数和 $y$ 的函数的乘积，则称以上方程为变量分离方程。

假设 $P(x, y) = X(x)Y_{1}(y)$, $Q(x, y) = X_{1}(x)Y(y)$，当 $X_{1}(x)Y_{1}(y) \neq 0$ 时，原方程可以写为：

$$\frac{X(x)}{X_{1}(x)}\mathrm{d}x + \frac{X(x)}{Y_{1}(y)}\mathrm{d}y = 0$$

通积分为：

$$\int\frac{X(x)}{X_{1}(x)}\mathrm{d}x + \int\frac{X(x)}{Y_{1}(y)}\mathrm{d}y = C$$

此外还有以下特解：$x = a_{i}$，$a_{i}$ 是 $X_{1}(x) = 0$ 的根；$y = b_{i}$，$b_{i}$ 是 $Y_{1}(y) = 0$ 的根。

一阶线性方程

考虑对称形式的一阶微分方程

$$P(x, y)\mathrm{d}x + Q(x, y)\mathrm{d}y = 0$$

如果该方程满足以下形式，称为一阶线性方程：

$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + p(x)y = q(x)$$

其中 $p(x)$ 和 $q(x)$ 在 $I$ 上连续。

当 $q(x) \equiv 0$ 时，所得方程称为一阶线性方程对应的齐次方程：

$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + p(x)y = 0$$

一阶齐次线性方程解法

对于一阶齐次线性方程，可以写成以下对称形式：

$$\mathrm{d}y + p(x)y\mathrm{d}x = 0$$

这是变量分离方程。通积分为：

$$y = Ce^{-\int p(x)\mathrm{d}x}$$

一阶非齐次线性方程解法

将原方程写为对称形式的一阶微分方程：

$$\mathrm{d}y + (p(x)y - q(x))\mathrm{d}x = 0$$

一般来讲这不是全微分方程，但如果以因子 $\mu(x) = e^{\int p(x)\mathrm{d}x}$ 乘以两侧，注意 $\mu(x) \neq 0$（积分因子法），得到方程：

$$e^{\int p(x)\mathrm{d}x}\mathrm{d}y + e^{\int p(x)\mathrm{d}x}p(x)y\mathrm{d}x = e^{\int p(x)\mathrm{d}x}q(x)\mathrm{d}x$$

这样方程两边都是全微分形式了：

$$\mathrm{d}(e^{\int p(x)\mathrm{d}x}y) = \mathrm{d}(\int q(x)e^{\int p(x)\mathrm{d}x}\mathrm{d}x)$$

通积分如下：

$$e^{\int p(x)\mathrm{d}x}y = \mathrm{d}(\int q(x)e^{\int p(x)\mathrm{d}x}\mathrm{d}x) + C$$

于是求出原方程通解：

$$y = e^{-\int p(x)\mathrm{d}x}(\mathrm{d}(\int q(x)e^{\int p(x)\mathrm{d}x}\mathrm{d}x) + C)$$

线性微分方程的性质

以下的前四个性质是线性微分方程所特有的，而性质5可以从前面的性质推出：

性质1：

齐次线性方程 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + p(x)y = 0$ 的解恒等于零，或者恒不等于零。

性质2：

线性方程 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + p(x)y = q(x)$ 的解是整体存在的，也就是任一解都在 $p(x)$, $q(x)$ 有定义且连续的整个区间 $I$ 上存在。

性质3：

• 齐次线性方程 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + p(x)y = 0$ 的任何解的线性组合仍然是它的解；
• 齐次线性方程 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + p(x)y = 0$ 与非齐次线性方程 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + p(x)y = q(x)$ 的任一解之和是非齐次线性方程的解；
• 非齐次线性方程 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + p(x)y = q(x)$ 的任意两个解的差是相应齐次线性方程 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + p(x)y = 0$ 的解。

性质4：

非齐次线性方程的任一解与相应的齐次线性方程的通解之和构成非齐次线性方程的通解。

性质5：

线性方程的初值问题的解存在且唯一。

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初等变换法

齐次方程

考虑对称形式的一阶微分方程：

$$P(x, y)\mathrm{d}x + Q(x, y)\mathrm{d}y = 0$$

如果其中的 $P(x, y)$ 和 $Q(x, y)$ 都是 $x$ 和 $y$ 同次的齐次函数（例如 $m$ 词）：

$$P(tx, ty) = t^{m}P(x, y) \\ Q(tx, ty) = t^{m}Q(x, y) \\$$

则称其为齐次方程。

齐次方程的一个等价定义是它可以写成以下形式：

$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \Phi(\frac{y}{x})$$

对齐次方程做变量代换 $y = ux$，可以得到变量分离方程 $u + x\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} = \phi(u)$。

伯努利方程

考虑对称形式的一阶微分方程：

$$P(x, y)\mathrm{d}x + Q(x, y)\mathrm{d}y = 0$$

如果该方程满足以下形式，称为伯努利方程：

$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + p(x)y = q(x)y^{n}$$

以 $(1 - n)y^{-n}$ 乘以方程两边，得到：

$$(1 - n)y^{-n}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + (1 - n)y^{1-n}p(x) = (1 - n)q(x)$$

然后令 $z = y^{1-n}$，就有：

$$\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x} + (1 - n)p(x)z = (1 - n)q(x)$$

这是关于未知函数 $z$ 的一阶线性函数。

积分因子法

考虑对称形式的一阶微分方程：

$$P(x, y)\mathrm{d}x + Q(x, y)\mathrm{d}y = 0$$

对于该方程，寻找一个可微的非零函数 $\mu = \mu(x, y)$ 使得在原方程两边同时乘以 $\mu(x, y)$ 之后得到以下方程

$$\mu(x, y)P(x, y)\mathrm{d}x + \mu(x, y)Q(x, y)\mathrm{d}y = 0$$

且所得该方程为为恰当方程，即：

$$\frac{\partial{(\mu P)}}{\partial{y}} = \frac{\partial{(\mu Q)}}{\partial{x}}$$

则 $\mu(x, y)$ 称为积分因子。求积分因子，等价地也就是求解以下一阶线性偏微分方程：

$$P\frac{\partial{\mu}}{\partial{y}} - Q\frac{\partial{\mu}}{\partial{x}} = (\frac{\partial{Q}}{\partial{x}} - \frac{\partial{P}}{\partial{y}})\mu$$

注意：虽然以上偏微分方程的解理论上存在，但对其求解又归结为对原来的常微分方程的求解，因此从上面的偏微分方程解出积分因子 $\mu(x, y)$ 是不可行的。

但对于一些特殊情形，可以从上面的偏微分方程找到积分因子。

可以从偏微分方程找到积分因子的特殊情况

比如方程 $P(x, y)\mathrm{d}x + Q(x, y)\mathrm{d}y = 0$ 有一个只与 $x$ 有关的积分因子 $\mu = \mu(x)$，则：

$$Q\frac{\mathrm{d}\mu}{\mathrm{d}x} = (\frac{\partial{P}}{\partial{y}} - \frac{\partial{Q}}{\partial{x}})\mu$$

也就是：

$$\frac{1}{\mu(x)}\frac{\mathrm{d}\mu(x)}{\mathrm{d}x} = \frac{1}{Q(x, y)}(\frac{\partial{P(x, y)}}{\partial{y}} - \frac{\partial{Q(x, y)}}{\partial{x}})\mu$$

由于上式左端只与 $x$ 有关，因此右边也只与 $x$ 有关。也就是说$P(x, y)\mathrm{d}x + Q(x, y)\mathrm{d}y = 0$ 有一个只与 $x$ 有关的积分因子 $\mu = \mu(x)$ 的充要条件是 $\frac{1}{Q(x, y)}(\frac{\partial{P(x, y)}}{\partial{y}} - \frac{\partial{Q(x, y)}}{\partial{x}})\mu$ 只依赖于 $x$。

记 $G(x) = \frac{1}{Q(x, y)}(\frac{\partial{P(x, y)}}{\partial{y}} - \frac{\partial{Q(x, y)}}{\partial{x}})\mu$。于是下面是一个积分因子：

$$\mu(x) = e^{\int G(x)\mathrm{d}x}$$

类似地，$P(x, y)\mathrm{d}x + Q(x, y)\mathrm{d}y = 0$ 有一个只与 $y$ 有关的积分因子 $\mu = \mu(y)$ 的充要条件是 $H(y) = \frac{1}{P(x, y)}(\frac{\partial{Q(x, y)}}{\partial{x}} - \frac{\partial{P(x, y)}}{\partial{y}})\mu$ 只依赖于 $y$。，此时 $\mu(y) = e^{\int H(y)\mathrm{d}y}$ 是一个积分因子。

分组求积分因子

若 $\mu(x, y)$ 是方程 $P(x, y)\mathrm{d}x + Q(x, y)\mathrm{d}y = 0$ 的一个积分因子，使得：

$$\mu P(x, y)\mathrm{d}x + \mu Q(x, y)\mathrm{d}y = \mathrm{d}\Phi(x, y)$$

则 $\mu(x, y)g(\Phi(x, y))$ 也是一个积分因子，其中 $g$ 是任意一个可微的非零函数。

如果 $P(x, y)\mathrm{d}x + Q(x, y)\mathrm{d}y = 0$ 的左端可以分为两组，即：

$$(P_{1}\mathrm{d}x + Q_{1}\mathrm{d}y) + (P_{2}\mathrm{d}x + Q_{2}\mathrm{d}y) = 0$$

其中第 1 组和第 2 组各有积分因子 $\mu_{1}$ 和 $\mu_{2}$，使得：

$$\mu_{1}(P_{1}\mathrm{d}x + Q_{1}\mathrm{d}y) = \mathrm{d}\Phi_{1} \\ \mu_{2}(P_{2}\mathrm{d}x + Q_{2}\mathrm{d}y) = \mathrm{d}\Phi_{2} \\$$

则对任意可微函数 $g_{1}$ 和 $g_{2}$，函数 $\mu_{1}g_{1}(\Phi_{1})$ 是第一组的积分因子；函数 $\mu_{2}g_{2}(\Phi_{2})$ 是第二组的积分因子。我们可以适当选取 $g_{1}, g_[2]$ 使得：

$$\mu_{1}g_{1}(\Phi_{1}) = \mu_{2}g_{2}(\Phi_{2})$$

则 $\mu_{1}g_{1}(\Phi_{1})$ 就是 $P(x, y)\mathrm{d}x + Q(x, y)\mathrm{d}y = 0$ 的一个积分因子。

齐次方程的情况

一阶微分方程 $P(x, y)\mathrm{d}x + Q(x, y)\mathrm{d}y = 0$ 如果是齐次方程（$P(x, y)$ 和 $Q(x, y)$ 都是 $x$ 和 $y$ 同次的齐次函数）。则有积分因子：

$$\mu(x, y) = \frac{1}{xP(x, y) + yQ(x, y)}$$

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可以降阶的高阶方程

自治方程

对于高阶方程，有一种情况是微分方程不含自变量，此时的方程称为自治方程。这类方程可以降阶。

考虑 n 阶的自治方程：

$$F(y, \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}, \cdots, \frac{\mathrm{d}^{n}y}{\mathrm{d}x^{n}}) = 0$$

令 $z = \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$，则有以下关系式：

$$\left\{ \begin{array}{**lr**} \frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^{2}} = \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x} = \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}y}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = z\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}y} \\ \frac{\mathrm{d}^{3}y}{\mathrm{d}x^{3}} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(z\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}y}) = z^{2}\frac{\mathrm{d}^{2}z}{\mathrm{d}y^{2}} + z(\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}y})^{2} \\ \cdots \\ \frac{\mathrm{d}^{n}y}{\mathrm{d}x^{n}} = \phi(z, \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}y}, \cdots, \frac{\mathrm{d}^{n-1}y}{\mathrm{d}y^{n-1}}) \\ \end{array} \right.$$

然后把它们代入原 n 阶自治方程，得到 $z$ 为未知函数，$y$ 是自变量的 n - 1 阶的微分方程：

$$F_{1}(y, z, \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}y}, \cdots, \frac{\mathrm{d}^{n-1}z}{\mathrm{d}y^{n-1}})$$

如果原来的阶数是 2 阶，经过这一步降阶就变成了 1 阶方程。但如果原自治方程为 3 阶以上，这一步降阶后还是高阶方程，需要继续想办法。

二阶自治方程 $y’’ = f(y, y’)$

考虑 2 阶的自治方程：

$$\frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^{2}} = f(y, \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x})$$

令 $z = \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$，则有以下关系式：

$$\frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^{2}} = \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x} = \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}y}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = z\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}y}$$

得到一个一阶方程：

$$z\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}y} = f(y, z)$$

$y’’ = f(x, y’)$

考虑以下形式的二阶方程：

$$\frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^{2}} = f(x, \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x})$$

可以令 $p = \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$，于是 $\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}x} = \frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^{2}}$。得到：

$$\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}x} = f(x, p)$$

这就变成了一个一阶方程。如果可以解出 $p = \phi(x, C_{1})$，则 $y = \int\phi(x, C_{1})\mathrm{d}x + C_{2}$。

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