Schweitzer不等式，概率方法的威力

摘要: 概率方法

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在文章 概率方法证明不等式：构造随机变量，将不等式中的项解释为事件的概率 中，我们介绍了证明不等式的概率方法，在文章 Weierstrass不等式，概率方法的威力 中我们通过概率方法解决了一个较难的不等式。本文我们再看一个例子。

对于常见的不等式，如果我们变换某些条件，可以使得不等式的反向关系成立，那么这个不等式可以称为反向型不等式。比如不等式 $2xy \leq x^{2} + y^{2}$ 我们都很熟悉。我们可以把它变形为 $xy \leq c_{1}x^{2} + c_{2}y^{2}$，其中 $c_{1} = c_{2} = \frac{1}{2}$。

那么一个很自然的问题是有没有可能当 $c_{1}, c_{2}$ 满足某些条件的时候，可以成立 $xy \geq c_{1}x^{2} + c_{2}y^{2}$，该不等式就是 $2xy \leq x^{2} + y^{2}$ 的反向不等式。

1914 年 Schweitzer 首先给出了一个反向不等式：

Schweitzer不等式

若 $0 < m \leq a_{k} \leq M$，其中 $k=1,2,\cdots,n$，则有：

$$(\frac{1}{n}\sum\limits_{k=1}\limits^{n}a_{k})(\frac{1}{n}\sum\limits_{k=1}\limits^{n}\frac{1}{a_{k}}) \leq \frac{(M + m)^{2}}{4Mm}$$

后来 1925 年，Polya 和 Szego 将其进行了一个比较经典的推广，涉及到了反向柯西不等式：

Polya-Szego不等式

若 $0 < m_{1} \leq a_{k} \leq M_{1}, 0 < m_{2} \leq b_{k} \leq M_{2}$，其中 $k=1,2,\cdots,n$，则有：

$$\frac{(\sum\limits_{k=1}\limits^{n}a_{k}^{2})(\sum\limits_{k=1}\limits^{n}b_{k}^{2})}{(\sum\limits_{k=1}\limits^{n}a_{k}b_{k})^{2}} \leq (\frac{\sqrt{\frac{M_{1}M_{2}}{m_{1}m_{2}}} + \sqrt{\frac{m_{1}m_{2}}{M_{1}M_{2}}}}{2})^{2}$$

1948 年康托洛维奇(Kantorovic)又将其进行了一个比较有用的推广，在统计、优化、非线性方程数值解等方面有重要应用。后面我们再单独讨论：

Kantorovic不等式

设 $0 < m \leq a_{k} \leq M$，其中 $k = 1, 2, \cdots, n$，则有：

$$(\sum\limits_{k=1}\limits^{n}a_{k}b_{k}^{2})(\sum\limits_{k=1}\limits^{n}\frac{b_{k}^{2}}{a_{k}}) \leq \frac{1}{4}(\sqrt{\frac{M}{m}} + \sqrt{\frac{m}{M}})^{2}(\sum\limits_{k=1}\limits^{n}b_{k}^{2})^{2}$$

本文我们看 Schweitzer 不等式，该不等式可以用几何凸函数的概念和向量之间的控制关系的概念证明，过程非常冗长。但是如果用概率方法，并且巧妙地构造随机变量，可以轻易解决。

Schweitzer不等式

设 $0 < m \leq a_{k} \leq M, k=1,2,\cdots,n$，则:

$$(\frac{1}{n}\sum\limits_{k=1}\limits^{n}a_{k})(\frac{1}{n}\sum\limits_{k=1}\limits^{n}\frac{1}{a_{k}}) \leq \frac{(m + M)^{2}}{4mM}$$

证明 (概率方法)

设随机变量 $\xi$ 的分布为 $P(\xi = a_{k}) = \frac{1}{n}$，其中 $k=1,2,\cdots,n$。于是 $\xi$ 和 $\xi^{-1}$ 的数学期望如下：

$$E\xi = \frac{1}{n}\sum\limits_{k=1}\limits^{n}a_{k}$$ $$E\xi^{-1} = \frac{1}{n}\sum\limits_{k=1}\limits^{n}a_{k}^{-1}$$

构造一个新的随机变量 $\eta = (M - \xi)(m^{-1} - \xi^{-1})$。由于 $\eta \geq 0$，所以 $E\eta \geq 0$。于是：

$$\begin{align} E\eta &= E[(M - \xi)(m^{-1} - \xi^{-1})] \\ &= E[Mm^{-1} - M\xi^{-1} - \xi m^{-1} + 1] \\ &=Mm^{-1} + 1 - ME\xi^{-1} - m^{-1}E\xi \\ &\geq 0 \end{align}$$

因此：

$$ME\xi^{-1} + m^{-1}E\xi \leq Mm^{-1} + 1$$

另一方面，由均值不等式有：

$$ME\xi^{-1} + m^{-1}E\xi \geq 2\sqrt{Mm^{-1}E\xi E\xi^{-1}}$$

因此：

$$2\sqrt{Mm^{-1}E\xi E\xi^{-1}} \leq Mm^{-1} + 1$$

变形后得：

$$E\xi E\xi^{-1} \leq \frac{m}{4M}(1 + \frac{M}{m})^{2} = \frac{(m + M)^{2}}{4mM}$$

也就是：

$$E\xi E\xi^{-1} = (\frac{1}{n}\sum\limits_{k=1}\limits^{n}a_{k})(\frac{1}{n}\sum\limits_{k=1}\limits^{n}\frac{1}{a_{k}}) \leq \frac{(m + M)^{2}}{4mM}$$

$\Box$

总结

本文我们大致了解了反向不等式的概念，Schweitzer 是最早提出的一个反向不等式，该不等式后续有一些重要推广并有一些应用。

要证明 Schweitzer 不等式需要涉及到凸分析中的几何凸函数的概念，以及向量之间的控制关系的概念，比较冗长。但是通过概率方法，我们可以简明有力地解决问题，但是需要能恰当地构造随机变量。

本文的概率方法涉及到了数学期望的构造，最关键的一步是中间的辅助随机变量的构造，该辅助随机变量的期望大于等于 0 作为初始的不等式，是后续推导的出发点。这一步构造非常巧妙，需要一些直觉和灵感。

当不等式中有形如 $\sum\limits_{k=1}\limits^{n}a_{k}$ 的项时，这种构造数学期望的方法是比较常见的思路，可以解决一大类问题。

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