线性代数的几何意义

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2022-02-08

摘要: 本文介绍《线性代数的几何意义》这本书

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这是一本国内的难得的线性代数好书。传统的线代书从代数角度讲解，利于计算，不利于培养对线性空间的感觉。本书从几何角度理解线性代数，更直观，利于发现这种工具的实际价值，把线性空间的感觉这一块补上了。

线性代数的几何意义

什么是线性代数

“代数”的意义
“线性”的意义
- 线性函数的概念
- 线性函数概念的推广
- 多元线性函数的几何意义
- n维(高维)空间的直观理解
线性映射和线性变换的几何意义
- 线性映射的几何意义
- 线性变换的几何意义
线性代数的故事
线性代数有什么用

向量的基本几何意义

向量概念的几何意义
- 自由向量的概念
- 向量的代数表示
向量加法的几何及物理意义
向量内积的几何和物理意义
- 向量内积的几何解释
- 向量内积的物理解释
向量叉积的几何和物理意义
- 叉积的定义及其几何解释
- 叉积的物理意义
向量混合运算的几何意义
- 向量加法的结合律的几何解释
- 向量数乘的分配律的几何解释
- 向量点积的分配律的几何解释
- 向量叉积的分配律的几何解释
- 向量混合积的几何解释
向量积和张量之间的关系
- 二维向量的内积、外积和张量
- 三维向量的内积、外积和张量
向量除法的几何意义
变向量的几何意义
- 二维变向量的几何图形
- 三维变向量的几何图形
- 变向量的应用
复向量的几何意义
- 向量与复数的关系
- 复向量的几何意义
向量和微积分的关系
- 微分的几何意义
- 微元就是向量
向量与解析几何的关系

行列式的几何意义

行列式的定义
二阶行列式的几何意义
- 二阶行列式的几何意义
- 二阶行列式性质的几何解释
三阶行列式的几何意义
- 三阶行列式的几何意义
- 三阶行列式性质的几何解释
行列式化为对角形的几何解释
行列式乘积项的几何意义
- 二阶行列式乘积项的几何意义
- 三阶行列式乘积项的几何意义
- n阶行列式乘积项的几何意义
拉普拉斯展开定理及代数余子式的几何解释
克莱姆法则的几何解释
- 二阶克莱姆法则的几何解释
- 三阶克莱姆法则的几何解释
一类行列式的几何意义
- 最后一列为1的行列式
- 一列为1的行列式的应用

向量组及向量空间的几何意义

向量组的几何意义
- 向量线性表示/组合的几何意义
- 向量组线性相关的几何意义
- 向量组等价的几何解释
- 向量组的秩和极大无关组的几何意义
- 向量组例题的图解
向量空间的几何意义
- 向量张成的空间
- 子空间的几何意义
- 基、维数及其坐标的几何意义
- 基变换的几何意义
- 欧式空间及内积推广
- 标准正交基的几何解释
- 施密特正交化的几何解释

矩阵的几何意义

矩阵的概念及物理意义
- 矩阵是统计数表的例子
- 矩阵是线性函数系数的例子
矩阵加法的几何意义
矩阵与向量乘法的几何意义
- 矩阵与向量的乘积的概念
- 矩阵与向量乘积的几何意义
矩阵与矩阵乘法的几何意义
- 矩阵与矩阵乘法的意义
- 矩阵左乘与右乘的不同
- 矩阵乘幂的几何及物理解释
矩阵与线性变换关系的几何意义
- 线性变换如何用矩阵表示
- 线性变换矩阵定理的几何及物理意义
- 矩阵及其对应线性变换的几何图形
- 初等矩阵/初等变换的几何意义
矩阵乘法运算律的几何意义
- 两个矩阵相乘是两个线性变换的复合
- 矩阵的乘法不满足交换律
- 矩阵的乘法不满足消去律
矩阵秩的几何意义
- 矩阵秩的几何意义
- 矩阵的秩对图形变换的影响
矩阵特征值和特征向量的几何及物理意义
- 特征值和特征向量的几何意义
- 特征值和特征向量的物理意义
- 特征向量空间的几何图景
- 实对称矩阵的特征值和特征向量
- 复数特征值及特征向量的几何意义
矩阵相似的几何意义
- 什么是相似矩阵
- 矩阵相似的几何意义
- 矩阵相似对角化的几何解释
矩阵行列式的几何意义
- 二阶矩阵行列式的几何意义
- 矩阵运算的行列式的几何意义
雅可比矩阵及其行列式的几何意义
- 雅可比矩阵及其行列式的几何意义
- 雅可比矩阵在二重积分中的应用例子
矩阵对平面和空间的旋转变换
- 平面上的旋转变换
- 空间的旋转变换
矩阵的等价、相似与合同关系
- 矩阵等价、相似及合同的关系对比
- 等价矩阵几何意义
- 相似与等价矩阵几何意义的对比
- 合同与等价矩阵几何意义的对比
其他各类矩阵的几何意义
- 逆矩阵的几何意义
- 转置矩阵的几何意义
- 伴随矩阵的几何意义
- 正交矩阵的几何意义
- 分块矩阵的代数及几何意义
- 三角矩阵几何意义
- 对角矩阵的几何意义
- 平移矩阵的几何意义
- 复数的矩阵表示

线性方程组的几何意义

两种线性方程组表示形式的几何意义
高斯消元法的几何解释
线性方程组的秩及解的关系的几何意义
- 二元线性方程组的秩及解的图形
- 三元线性方程组的秩及解的图形
线性方程组有解判别定理的几何解释
线性方程组解结构的几何意义
- 线性方程组解的代数形式
- 齐次线性方程组的解空间
- 非齐次线性方程组的解结构
- 非齐次线性方程组的例解
数域上的线性方程组（或向量空间）的意义
超定方程组的最小二乘解的几何解释
- 最小二乘法的向量解的几何意义
- 一般最小二乘解的公式推导
- 最小二乘解的例析
方程组和矩阵、向量组的关系
- 线性方程组与矩阵乘法的运算关系
- 线性方程组、矩阵、向量组的关系
- 秩的关系

二次型的几何意义

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数代数

线性代数的几何意义

什么是线性代数

向量的基本几何意义

行列式的几何意义

向量组及向量空间的几何意义

矩阵的几何意义

线性方程组的几何意义

二次型的几何意义