负环

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摘要: 负环

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负环

在图论中,如果一条边的权值是负数,则为负权,如果图中存在一个环,还上各个边的权值之和为负数,则为负环

带权图最短路径 中,各种单源最短路径算法有一些适用条件:

  • dijkstra: $O(n^{2})$,不能处理负权
  • heap-dijkstra: $O(m\log n)$,不能处理负权
  • bellman-ford: $O(nm)$,可以处理负权,无负环时,最短路包含的边数 $< n$,n - 1 轮迭代之和一定收敛
  • dpfa: $O(km)~O(nm), k是较小的常数$,可以处理负权,负环只是会增加出入队次数

如果图中存在负环,那么无论多少轮迭代,总存在有向边 $(x,y,z)$,使得 $d[y] > d[x] + z$,bellman-ford 和 spfa 永远不会收敛。

负环的判定法则与算法

Bellman-Ford

如果经过 n 轮迭代,仍未收敛,即仍能产生可以更新的边,则图中存在负环。

n - 1 轮之内收敛,即所有边满足三角形不等式,则图中无负环。

代码模板 (C++)

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struct To
{
int v;
double w;
To(int v, double w):v(v),w(w){}
};

bool bellman_ford(vector<vector<To> >& g, int start, vector<bool>& visited)
{
// bellman ford O(VE)
// 可以检测负环

int N = g.size() - 1;
vector<double> d(N + 1, INT_MAX / 2);
d[start] = 0.0;

// 进行 N - 1 轮松弛
// 因为任意两点之间最短路最多包含 N - 1 条边
for(int cnt = 1; cnt <= N; ++cnt)
{
// u: 源节点,v: 子节点, w: uv 的权
bool update = false;
for(int u = 1; u <= N; ++u)
{
if(abs(d[u] - INT_MAX / 2) < eps) continue;
for(To &son: g[u])
{
int v = son.v;
double w = son.w;
// 判断能否通过 u -> v 缩短 d[v] (松弛)
if(d[u] + w + eps < d[v])
{
update = true;
if(cnt >= N)
return true; // 负环
d[v] = d[u] + w;
}
}
}
if(!update)
break;
}
for(int i = 1; i <= N; ++i)
{
if(abs(d[i] - INT_MAX / 2) > eps)
visited[i] = true;
}
return false;
}

bool negative_cycle(vector<vector<To> >& g)
{
int N = g.size() - 1;
vector<bool> visited(N + 1, false);
for(int i = 1; i <= N; ++i)
{
if(visited[i]) continue;
if(bellman_ford(g, i, visited))
return true;
}
return false;
}

spfa

cnt[x] 表示从 1 到 x 的最短路径包含的边数,cnt[1] = 0,当更新 d[y] = d[x] + z 时,同时更新 cnt[y] = cnt[x] + 1,此时若 cnt[y] >= n,则图中有负环。算法正常结束则没有负环。

代码模板 (C++)

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struct To
{
int v;
double w;
To(int v, double w):v(v),w(w){}
};

bool spfa(vector<vector<To> >& g, int start, vector<bool>& visited)
{
// 与 bellman ford 相同, O(VE)
// 可以检测负环

int N = g.size() - 1;
vector<double> d(N + 1, INT_MAX / 2);
d[start] = 0;
queue<int> q;
q.push(start);

// 记录每个点到 start 的节点个数
vector<int> cnt(N + 1, 0);
cnt[start] = 1;
while(!q.empty())
{
int u = q.front();
q.pop();
for(To &son: g[u])
{
int v = son.v;
double w = son.w;
if(abs(d[v] - INT_MAX / 2) < eps || d[v] > d[u] + w + eps)
{
cnt[v] = cnt[u] + 1;
if(cnt[u] > N)
return true; // 若 son 到 start 的节点个数大于 N 了说明有负环
// 当最短距离发生变化且不在队列中时,将该节点加入队列
d[v] = d[u] + w;
q.push(v);
}
}
}
for(int i = 1; i <= N; ++i)
{
if(abs(d[i] - INT_MAX / 2) > eps)
visited[i] = true;
}
return false;
}

bool negative_cycle(vector<vector<To> >& g)
{
int N = g.size() - 1;
vector<bool> visited(N + 1, false);
for(int i = 1; i <= N; ++i)
{
if(visited[i]) continue;
if(spfa(g, i, visited))
return true;
}
return false;
}

题目

一张有向图,每个点 i 有一个权值 wv[i],每条边 j 也有一个权值 we[j],求图中的一个环,使得环上各个点的权值之和除以环上各个边的权值之和最大。求这个最大值。

算法:01分数规划、负环

这是 01分数规划 问题。

记环上有 t 个点,t 条边,各个点为 $v = \{v_{1}, v_{2}, …, v_{t}\}$,各个边为 $e = \{e_{1}, e_{2}, …, e_{t}\}$,要求以下分数规划的最大值:

二分出 mid 之后,看是否存在环使得 $\frac{\sum_{i=1}^{t}wv[i]}{\sum_{i=1}^{t}we[i]} > mid$,即判断 $\sum_{i=1}^{t}(mid * we[i] - wv[i]) < 0$:

  • 若成立:则 mid 比所求的最大值小,比 mid 小的不是答案,left = mid
  • 若不成立:则 mid 比所求的最大值大,比 mid 大的不是答案,right = mid

判断过程:建图,没有点权,对于边 $e = uv$,边权为 mid * we[e] - wv[u],判定 $\sum_{i=1}^{t}(mid * we[i] - wv[i]) < 0$ 是否成立的意思就是判定图中是否存在负环。

代码 (C++)

spfa 勉强过,bellman-ford 超时

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#include <iostream>
#include <fstream>
#include <vector>
#include <climits>
#include <iomanip>
#include <queue>

using namespace std;

const double eps = 1e-8;

struct Edge
{
int u,v;
int w;
Edge(int u, int v, int w):u(u),v(v),w(w){}
};

struct To
{
int v;
double w;
To(int v, double w):v(v),w(w){}
};

bool spfa(vector<vector<To> >& g, int start, vector<bool>& visited)
{
// 与 bellman ford 相同, O(VE)
// 可以检测负环

int N = g.size() - 1;
vector<double> d(N + 1, INT_MAX / 2);
d[start] = 0;
queue<int> q;
q.push(start);

// 记录每个点到 start 的节点个数
vector<int> cnt(N + 1, 0);
cnt[start] = 1;
while(!q.empty())
{
int u = q.front();
q.pop();
for(To &son: g[u])
{
int v = son.v;
double w = son.w;
if(abs(d[v] - INT_MAX / 2) < eps || d[v] > d[u] + w + eps)
{
cnt[v] = cnt[u] + 1;
if(cnt[u] > N)
return true; // 若 son 到 start 的节点个数大于 N 了说明有负环
// 当最短距离发生变化且不在队列中时,将该节点加入队列
d[v] = d[u] + w;
q.push(v);
}
}
}
for(int i = 1; i <= N; ++i)
{
if(abs(d[i] - INT_MAX / 2) > eps)
visited[i] = true;
}
return false;
}

bool bellman_ford(vector<vector<To> >& g, int start, vector<bool>& visited)
{
// bellman ford O(VE)
// 可以检测负环

int N = g.size() - 1;
vector<double> d(N + 1, INT_MAX / 2);
d[start] = 0.0;

// 进行 N - 1 轮松弛
// 因为任意两点之间最短路最多包含 N - 1 条边
for(int cnt = 1; cnt <= N; ++cnt)
{
// u: 源节点,v: 子节点, w: uv 的权
bool update = false;
for(int u = 1; u <= N; ++u)
{
if(abs(d[u] - INT_MAX / 2) < eps) continue;
for(To &son: g[u])
{
int v = son.v;
double w = son.w;
// 判断能否通过 u -> v 缩短 d[v] (松弛)
if(d[u] + w + eps < d[v])
{
update = true;
if(cnt >= N)
return true; // 负环
d[v] = d[u] + w;
}
}
}
if(!update)
break;
}
for(int i = 1; i <= N; ++i)
{
if(abs(d[i] - INT_MAX / 2) > eps)
visited[i] = true;
}
return false;
}

bool check(const vector<int>& wv, const vector<Edge>& edges, double mid)
{
int N = wv.size() - 1;
vector<vector<To>> g(N + 1);
for(const Edge &e: edges)
g[e.u].push_back(To(e.v, (double)mid * (double)e.w - wv[e.u]));
vector<bool> visited(N + 1, false);
for(int i = 1; i <= N; ++i)
{
if(visited[i]) continue;
if(bellman_ford(g, i, visited))
// if(spfa(g, i, visited))
return true;
}
return false;
}

int main()
{
// fstream fin("negacycle.test");
int L, P;
cin >> L >> P;
vector<int> wv(L + 1);
for(int i = 1; i <= L; ++i)
cin >> wv[i];
vector<Edge> edges;
for(int i = 1; i <= P; ++i)
{
int u, v, w;
cin >> u >> v >> w;
edges.emplace_back(u, v, w);
}
double left = 0.0, right = 1e9;
while(abs(right - left) > eps)
{
double mid = (left + right) / 2;
if(check(wv, edges, mid))
left = mid;
else
right = mid;
}
cout << setiosflags(ios::fixed) << setprecision(2);
cout << left << endl;
}

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