复变函数-本科时期笔记(2012)

字数统计: 1.3k字 | 阅读时长: 5分

2022-02-08

摘要: 复变函数课程笔记

【对数据分析、人工智能、金融科技、风控服务感兴趣的同学，欢迎关注我哈，阅读更多原创文章】
我的网站：潮汐朝夕的生活实验室
我的公众号：潮汐朝夕
我的知乎：潮汐朝夕
我的github：FennelDumplings
我的leetcode：FennelDumplings

2012 年，复变函数课程笔记，共 92 页。主要内容如下：

复变函数概念
解析函数
解析函数的级数展开
留数
初等多值函数
保角映射
解析延拓
平面向量场与解析函数

复变函数概念

复数的几种表示：代数、几何、向量、三角、指数。

代数：$z = x + iy$。
几何：$z$ 与 $(x, y)$ 一一对应。
向量：$\vec{OP}$，模 $|z| = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$，辐角 $\theta = \arg z$。
三角：$z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$
指数：$z = re^{i\theta}$

三角函数的复数表示：

$\cos\theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2} \\ \sin\theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i} \\$

复数的加减、乘除。

复数的乘方：

$z^{n} = r^{n}e^{in\theta} = r^{n}(\cos\theta + i\sin\theta)^{n} = r^{n}(\cos n\theta + i\sin n\theta)$

r = 1 得棣莫弗公式：

$(\cos\theta + i\sin\theta)^{n} = \cos n\theta + i\sin n\theta$

共轭复数。

曲线复数方程。

复平面的点集、区域、简单曲线。

内点、外电、边界点。

有界点集、边界。

连续曲线。

简单曲线（Jordan 曲线）。

单连通域、复连通域。

复变函数。

像、原像。

曲线在映射下的像。

复球面、无穷远点、扩充复平面。

解析函数

极限。

连续性。

解析函数。

可导与连续。

可导与解析。

柯西黎曼条件。

复变函数中值定理。

L’Hospital 法则。

调和函数。

正交曲线系。

初等解析函数。

指数函数。

对数函数。

幂函数。

三角函数。

双曲函数。

反三角函数。

反双曲函数。

复变函数的积分。

柯西定理。

柯西定理的推广。

柯西积分公式。

莫雷拉定理（柯西定理逆定理）

解析函数的级数展开

复数列的极限。

柯西收敛准则。

复数项级数。

Cauchy收敛准则。

复函数项级数、收敛域。

幂级数。

幂级数收敛特性，Abel 定理。

收敛半径求法。

解析函数的 Taylor 展开。

初等函数的 Taylor 展开。

罗朗级数。

孤立寄点。

可去奇点、极点、本性奇点。

函数在无穷远点的性态。

罗朗展开。

留数

留数。

第一留数定理。

留数计算。

无穷远点的留数。

第二留数定理。

计算积分：

$\int_{0}^{2\pi}R(\cos{x}, sin{x})dx$ 型
$\int_{0}^{2\pi}\frac{P(x)}{Q(x)}dx$ 型
$\int_{0}^{2\pi}f(x)e^{i\lambda x}dx$ 型

对数留数、幅角原理。

儒歇定理。

初等多值函数

单叶解析函数。

根式函数。

对数函数。

一般幂函数。

一般指数函数。

多个支点的情形。

反三角函数。

反双曲函数。

解析函数平均值定理。

刘伟尔定理。

绝对收敛的复级数。

一致收敛的复函数项级数。

Cauchy 一致收敛准则。

优级数准则。

解析函数项级数可逐项求导。

幂级数。

解析函数零点孤立性。

最大摸原理。

最小模原理。

Schwarz 引理。

整函数。

亚纯函数。

用留数计算实积分。

含 $\infty$ 的区域的留数定理。

留数计算积分的一些结论：

$\int_{0}^{+\infty}\frac{\sin{x}}{x}dx = \frac{\pi}{2} \\ \int_{0}^{+\infty}e^{-x^{2}}dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2} \\ \int_{0}^{+\infty}\cos{x}^{2}dx = \int_{0}^{+\infty}\sin{x}^{2}dx = \frac{\sqrt{2\pi}}{4} \\ \int_{0}^{+\infty}e^{-ax^{2}}\cos{bx}dx = \frac{1}{2}e^{-\frac{b^{2}}{4a}}\sqrt{\frac{\pi}{a}} (a>0)\\$

用留数计算积分的关键点：