高斯的数学思想

摘要: 串讲高斯生涯的著名成果

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高斯(1777-1855)是十八世纪德国著名数学家，整个生涯的成就遍布数学、物理、天文、大地测量等领域。现代人的教育升学历程中，在小学阶段的书上就有高斯求和的故事，可见其影响力。

高斯求和的故事是他10岁的时候，从这个故事可以看出高斯的天赋，事实上后来他早期的天赋兑现的非常充分。在 16 岁时猜想了欧式几何之外必然会产生一门完全不同的几何学；推导出二项式定理的一般形式，并运用在无穷级数；19 岁时历史首次证明了正 17 边形可以尺规作图；21 岁博士论文证明了代数基本定理。

如果只看高斯 21 岁之前的水平，历史上还是有不少早期展现天赋并且取得很好的成果的科学家可以跟他对比的。高斯真正厉害的，让他从诸神中脱颖而出的有两点，一个是他活的长（78岁），另一个就是这么长的生涯时间内可以持续高质量地输出。

欧拉（1707-1783）和高斯(1777-1855)，从早年的天赋兑现，生涯长度，输出的持续性，派系下面的徒子徒孙的成就上，是可以放到一起对比的两个人。

近现代的数学、物理学、统计学、信息学、计算机科学等领域的格局是以欧洲大学为中心向全世界辐射。重要科学家的师承关系中，主要有高斯这一派系以及欧拉拉格朗日这一派系，也就是说随便拿出一个领域内比较有名的人，从他的导师往上一层一层的看师承关系，最终基本上都会走到高斯或者欧拉这两个人。

有位网友整理了高斯大部分重要数学文章（几乎都是中译文章），编辑了一本电子书《高斯核心数学工作相关文章汇编》，本文提供下载链接，感兴趣的可以下载。这些文章包括，代数基本定理，椭圆函数，AGM，微分几何奠基性文章，146篇数学日记等等，推荐看一看。

高斯核心数学工作相关文章汇编

本文就以这份电子书为基础，大致盘点一下高斯生涯的关键成果。

正17边形尺规作图

$\cos{\frac{2\pi}{17}}$

$$\cos{\frac{2\pi}{17}} = \frac{1}{16}(-1+\sqrt{17} + \sqrt{2(17-\sqrt{17})} + 2\sqrt{17+3\sqrt{17}-\sqrt{2(17-\sqrt{17})}-2\sqrt{2(17+\sqrt{17})}})$$

高斯证明了正十七边形可以尺规作图，解决了存在了两千多年的数学难题。其思路就是，要画出正十七边形，只需要求出 $\cos{\frac{2\pi}{17}}$（类似于化圆为方等价于作出 $\sqrt{\pi}$、倍立方等价于作出 $\sqrt[3]{2}$），如果求出来了，再验证其是否满足尺规作图的条件，也就证明的这个难题。

最大的难点是求 $\cos{\frac{2\pi}{17}}$，高斯的求解过程在《高斯核心数学工作相关文章汇编》中有记录，可以自行体会。

尺规作图高斯定理

高斯不仅证明正十七边形可以尺规作图，而是直接把正多边形的尺规作图问题解决了，也就是以下定理：

正 n 边形可以尺规作图当且仅当 $n=2^{k}F_{m_{1}}F_{m_{2}}\cdots F_{m_{l}}$，其中 $k, l\geq 0$，而 $F_{m_{1}}, F_{m_{2}}, \cdots, F_{m_{l}}$ 为两两不同的费马素数。

二次互反律

在同余理论里，二次互反律（quadratic reciprocity law）是一个用于判别二次剩余，即二次同余方程之整数解的存在性的定律。

设 $a, b$ 是非零整数，定义雅可比符号 $(\frac{a}{b})$：若存在正数 $x$，使得 $x^{2} \equiv a \mod{b}$，那么记 $(\frac{a}{b})=-1$，在 $b$ 为素数时，这个符号也称为勒让德符号。

二次互反律的结论如下：

$$(\frac{q}{p})(\frac{p}{q}) = (-1)^{\frac{p-1}{2}\frac{q-1}{2}}$$

高斯给出了多种证法，每种证法都包含了重要的数学思想，后来高斯又发现了四次互反律。

n角数

形数就是指平面上各种规则点阵所对应的数， 是毕达哥拉斯学派最早研究的重要内容之一。

每个图形的点数分别称为三角数、四角数、五角数等等。

m 角数的递推关系如下 (m > 2)：

$$a_{1} = 1 \\ a_{n+1} - a_{n} = (m-2)n + 1$$

高斯证明了以下定理：

每个正整数都可以表示为不超过 3 个三角数之和。

与该结论相关的还有以下定理：

• 拉格朗日四平方和定理：每个正整数都可以表示为不超过 4 个平方数之和。

• 费马定理：当 $n\geq 3$ 时，每个正整数都可以表示为不超过 n 个 n 角数之和。

代数基本定理

复系数多项式方程 $a_{0}x^{n} + a_{1}x^{n-1} + \cdots + a_{n-1}x + a_{n} = 0$ 在复数域上至少有一个根。

在高斯的博士论文中，他并未具体构造出多项式方程的解，而是一种纯粹的存在性证明. 高斯前后一共给出过代数学基本定理的四个证明。

由代数基本定理推出：n次复系数多项式方程在复数域内有且只有n个根（重根按重数计算）。

最小二乘法

1807 年，高斯 30 岁，在这一年高斯被任命为哥廷根大学的天文学教授和天文台台长. 1809 年，高斯的天文学专著《天体运动理论》出版，书中包含了最小二乘法，高斯在 1801 年用这一方法计算出了小行星谷神星的运动轨道。

1829 年，高斯提供了最小二乘法的优化效果强于其它方法的证明。

超几何函数

高斯 35 岁时研究了超几何函数，并写成了专题论文。超几何函数由以下级数定义：

$$ F(\alpha,\beta;\gamma;z) = 1 + \frac{\alpha\beta}{\gamma\cdot 1}z + \frac{\alpha(\alpha+1)\beta(\beta+1)}{\gamma(\gamma+1)\cdot 1 \cdot 2}z^{2} + \frac{\alpha(\alpha+1)\beta(\beta+1)}{\gamma(\gamma+1)\cdot 1 \cdot 2}z^{3} + \cdots $$

这种超几何函数是以下超几何方程的解：

$$z(1-z)\frac{\mathrm{d}^{2}u}{\mathrm{d}x^{2}} + (\gamma - (\alpha + \beta + 1)z)\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} - \alpha\beta u = 0$$

超几何函数是很广的一类函数，很多我们常见的函数都可以由其表示出来：

$$(1+z)^{n} = F(-n, \beta;\beta;-z) \\ \frac{1}{1-z} = F(\frac{1}{2},1;2;4z(1-z)) \\ \log{(1+z)} = zF(1,1;2;-z); \\ \log{\frac{1+z}{1-z}} = 2zF(\frac{1}{2},1;\frac{3}{2};z^{2}) \\ \arcsin{z} = zF(\frac{1}{2},\frac{1}{2};\frac{3}{2};z^{2}) \\ \arctan{z} = zF(\frac{1}{2},1;\frac{3}{2};-z^{2}) \\ e^{z} = \lim\limits_{n\rightarrow \infty}F(1,n;1;\frac{z}{n}) \\$$

微分几何

1827 年，高斯 50 岁发表了论文《关于一般曲面的研究》，这篇论文对微分几何做出了划时代的贡献，我们现在大学学的古典微分几何课程里面的理论框架就是这篇论文建立的。

高斯绝妙定理

空间中的曲面有第一基本形式和第二基本形式，它们分别描述了曲面的度量和其在空间中的形状。曲面上每一点都有主曲率 $\kappa_{1}$ 和 $\kappa_{2}$，称 $K=\kappa_{1}\kappa_{2}$ 为高斯曲率。

高斯通过计算发现高斯曲率其实只和第一基本形式有关，这一重要结论称为高斯绝妙定理。该定理是微分几何的里程碑，开创了现代微分几何。专门研究曲面上由它的第一基本形式所决定的几何学称为内蕴几何。黎曼后来继承并发扬了高斯的这一思想，提出了高维的内蕴微分几何学的概念，即大名鼎鼎的黎曼几何.

高斯博内定理

从高斯博内公式经过一些推导可以得出测地三角形的内角和不再等于 $\pi$，它与 $\pi$ 之差恰好为曲面的高斯曲率 $K$ 在测地三角形所围成的区域上的积分。因此欧式平面几何与曲面上的几何学的本质区别在于空间本身的弯曲性质不同，这是欧式几何和非欧几何的根本区别。

从高斯博内公式还可以推出高斯博内定理，该定理把微分几何的不变量（高斯曲率）和拓扑学的不变量（欧拉示性数）联系了起来。

正态分布

高斯在研究测量误差时得到了正态分布 $X \sim N(\mu, \sigma^{2})$。

算术几何平均值(AGM)

高斯 14 岁时研究了以下数列：

设 $a \geq b > 0$，$a_{0} = a$, $b_{0} = b$，按以下递推公式定义数列 $\{a_{n}\}$, $\{b_{n}\}$：

$$a_{n} = \frac{a_{n-1}+b_{n-1}}{2} \\ b_{n} = \sqrt{a_{n-1}b_{n-1}} \\$$

高斯证明了数列 $\{a_{n}\}$, $\{b_{n}\}$ 均收敛，且极限相等，该极限称为 $a$ 和 $b$ 的算术几何平均值，记为 $AGM(a, b)$，高斯给出了表达式：

$$AGM(a, b) = \frac{\pi}{2\int^{\frac{\pi}{2}}_{0}\frac{\mathrm{d}\theta}{\sqrt{a^{2}\cos^{2}{\theta} + b^{2}\sin^{2}{\theta}}}}$$

后来 Salamin 和 Brent 在此基础上发展出了计算 $\pi$ 的快速算法：

取 $a=1$, $b=\frac{1}{\sqrt{2}}$，有：

$$\pi = \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{(a_{n}+b_{n})^{2}}{1-2\sum\limits_{k=1}\limits^{n}2^{n}(a_{n}^{2}-b_{n}^{2})}$$

双纽线周率

以下曲线称为半径为 a 的伯努利双纽线：

$$(x^{2} + y^{2})^{2} = a^{2}(x^{2} - y^{2}), a > 0$$

高斯研究了跟 $\pi$ 类似的常数 $\varpi$，也就是双纽线周长与直径的比。通过该曲线的极坐标方程 $r^{2}=a^{2}\cos{2\theta}$可以计算出双纽线周长为：

$$\begin{align} L &= 4\int^{a}_{0}\sqrt{1+r^{2}(\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}r})^{2}}\mathrm{r} = 4\int^{a}_{0}\frac{a^{2}}{\sqrt{a^{4}-r^{4}}}\mathrm{d}r \\ &= 4a\int^{1}_{0}\frac{1}{\sqrt{1-x^{4}}}\mathrm{d}x \\ &= a\int^{1}_{0}u^{-\frac{3}{4}}(1-u)^{-\frac{1}{2}}\mathrm{d}u \\ &= a\cdot B(\frac{1}{4},\frac{1}{2}) = a\cdot \frac{\Gamma(\frac{1}{4})\Gamma(\frac{1}{2})}{\Gamma(\frac{3}{4})} \\ &= a\cdot \frac{\Gamma(\frac{1}{4})^{2}\Gamma(\frac{1}{2})}{\Gamma(\frac{1}{4})\Gamma(\frac{3}{4})} = a\sqrt{\pi}\cdot\Gamma(\frac{1}{4})^{2}\frac{\sin{\frac{\pi}{4}}}{\pi} \\ &= \frac{a}{\sqrt{2\pi}}\Gamma(\frac{1}{4})^{2} \end{align}$$

类似于圆周率 $\pi$ 是圆周长与直径的比，双纽线周长与直径的比为：

$$\varpi = \frac{L}{2a} = \frac{1}{2\sqrt{2\pi}}\Gamma(\frac{1}{4})^{2} = 2.622057554\cdots$$

$\varpi$ 与 $\pi$ 有类似的积分表达式：

$$\pi = 2\int^{1}_{0}\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\mathrm{d}x \\ \varpi = 2\int^{1}_{0}\frac{1}{\sqrt{1-x^{4}}}\mathrm{d}x \\$$

$\varpi$ 是高斯研究算术几何平均值时研究的量，它与算术几何平均值的关系如下：

$$AGM(\sqrt{2}, 1) = \frac{\pi}{\varpi}$$

素数定理

高斯 15 岁时，推算了对数表和素数表中的数，惊讶地发现素数的分布密度接近于对数的倒数，这一发现正是素数定理：

$$Li(x) = \int^{x}_{2}\frac{\mathrm{d}t}{\ln{t}} \\ \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{\pi(x)}{Li(x)} = 1 \\$$

椭圆函数

在椭圆函数方面，高斯发现了模函数。他是从二次型的约化理论出发到达模函数论的，高斯还掌握了模函数的几何表示。最终模函数理论由克莱因等人完成。

快速傅里叶变换

快速傅里叶变换（英语：Fast Fourier Transform, FFT ），是快速计算序列的离散傅里叶变换（DFT ）或其逆变换的方法。

FFT 会通过把DFT矩阵分解为稀疏因子之积来快速计算此类变换。因此 FFT 能够将计算 DFT 的复杂度从只用 DFT 定义计算需要的 $O(N^{2})$ 降低到 $O(N\log{N})$。

在 1965 年，Cooley 和 Tukey 发表了快速傅里叶变换算法。事实上 FFT 早在这之前就被发现过了，但是在当时现代计算机并未问世，人们没有意识到 FFT 的重要性。

根据一些数学史资料，高斯在 1805 年提出了这个算法，但是没有发表（傅里叶级数于 1768 年提出）。

高斯公式

高斯在研究电磁学时得到了我们在大学微积分中可以看到的高斯公式：

$$\int_{\partial D}P\mathrm{d}y\mathrm{d}z + Q\mathrm{d}z\mathrm{d}x + R\mathrm{d}x\mathrm{d}y = \int_{D}(\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z})\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z$$

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