小数转分数

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摘要: 小数转分数的算法

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本文我们来看一下在算术中常见的小数转分数的问题。在编程中,除了整数以外,我们主要用的是小数,比如 float、double,但有的时候需要将小数转换为分数。

本文我们首先看一下小数转分数的算法,然后解决力扣 972,本题还涉及在有限字符串上到寻找最小循环节的问题,这里直接从小到大枚举所有可能的循环节来处理。

有限小数转分数

如果是有限小数,可以直接去掉小数点,然后再约分。具体过程是,如果有限小数的小数位数为 l,构造分数 a/b,其中分子 a = x * pow(10, l),分母 b = pow(10, l),然后再约分即可。

例如 $x=0.16$,乘以 100 可以去掉小数点,得到 $x = \frac{16}{100}$,然后再约分,得到最终的分数 $\frac{4}{25}$。

大致代码如下:

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using ll = long long;

struct Fraction
{
// 分数 x / y
ll x, y;
Fraction(ll x, ll y):x(x),y(y){}
void reduction()
{
// 约分
int _gcd = gcd<int>(x, y);
x /= _gcd;
y /= _gcd;
}
};

int get_fractional_part_len(double x)
{
// 小数部分长度
int len = 0;
while(x - (int)x != 0)
{
len++;
x *= 10;
}
return len;
}


Fraction get_fraction(double x)
{
// x 为有限小数
int len = get_fractional_part_len(x);
Fraction ans(x * pow(10, len), pow(10, len));
ans.reduction();
}

无限循环小数转分数

无限循环小数有三个部分:整数部分,小数不循环部分,小数循环部分。例如 $0.1666\cdots$,整数部分是 0、小数不循环部分为 1、小数循环部分为 6。

首先找到循环节长度 len,将 x 乘以 pow(10, len) 后再减去 x,可以得到一个关于 x 的一元一次方程,进而可以得到 x 的分数表示,约分后可得到最终的分数。算法如下:

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例如 x = 0.1(6)

循环节长 len = 1
不循环小数部分长 nonrepeat_len = 1

乘以 10^len 之后的新数: pow(10, 1) * x = 10x = 1.6(6)

新数减去原数
9x = 1.6(6) - 0.1(6) = 1.6 - 0.1 = 0.5

两边乘以 pow(10, nonrepeat_len)
90x = 16 - 1

约分后,得到最终的分数:
x = 15 / 90 = 1 / 6

该算法理解起来不难,但在实现时有几个要点,容易出错:

  • 需要首先得到循环节长度 len,不循环小数部分的长度 nonrepeat_len,根据小数是以浮点数给出还是字符串给出,实现相应的解析逻辑。
  • 不循环小数部分的长度需要以循环节最早出现的位置计算。
  • 循环节的长度需要以最短的循环节为准。
  • 构造一元一次方程的过程,系数是以整数部分,小数不循环部分共同表示的,构造的时候注意 len >= nonrepeat_lenlen < nonrepeat_len 两种情况分类讨论。

具体的代码细节见后面的题目,题目的代码可以作为模板。


题目

给定两个字符串 S 和 T,每个字符串代表一个非负有理数,只有当它们表示相同的数字时才返回 true;否则,返回 false。字符串中可以使用括号来表示有理数的重复部分。

通常,有理数最多可以用三个部分来表示:整数部分 、小数非重复部分 和小数重复部分 <(><)>。数字可以用以下三种方法之一来表示:

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<IntegerPart>(例:0,12,123)
<IntegerPart><.><NonRepeatingPart> (例:0.5,2.12,2.0001)
<IntegerPart><.><NonRepeatingPart><(><RepeatingPart><)>(例:0.1(6),0.9(9),0.00(1212))

十进制展开的重复部分通常在一对圆括号内表示。例如:

1 / 6 = 0.16666666… = 0.1(6) = 0.1666(6) = 0.166(66)

0.1(6) 或 0.1666(6) 或 0.166(66) 都是 1 / 6 的正确表示形式。

提示:

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每个部分仅由数字组成。
整数部分 <IntegerPart> 不会以零开头。(零本身除外)
1 <= <IntegerPart>.length <= 4
0 <= <NonRepeatingPart>.length <= 4
1 <= <RepeatingPart>.length <= 4

示例 1:
输入:s = “0.(52)”, t = “0.5(25)”
输出:true
解释:因为 “0.(52)” 代表 0.52525252…,而 “0.5(25)” 代表 0.52525252525…..,则这两个字符串表示相同的数字。

示例 2:
输入:s = “0.1666(6)”, t = “0.166(66)”
输出:true

示例 3:
输入:s = “0.9(9)”, t = “1.”
输出:true
解释:”0.9(9)” 代表 0.999999999… 永远重复,等于 1 。[有关说明,请参阅此链接]
“1.” 表示数字 1,其格式正确:(IntegerPart) = “1” 且 (NonRepeatingPart) = “” 。

算法:小数转分数

将两个字符串表示的小数分别转换为分数,然后分别约分,比较它们的分子分母。

分数的表示以及约分操作放到一个结构体 Fraction 中。

将字符串表示的小数转换为结构体 Fraction 表示的分数过程如下:

step1

枚举字符 i = 0,1,...,n-1,直至左括号,中途如果遇到小数点,则记录小数点位置,顺便得到整数部分。

枚举结束后:

  • 如果枚举过程没有遇到小数点,需要单独更新整数部分,不循环小数部分为 0。
  • 如果枚举过程遇到了小数点,整数部分已经更新过,需要更新不循环小数部分。

step2

继续枚举字符 j = i+1,i+1,...,n-1,直至右括号(如果 i == n,则这一步自动跳过)

枚举结束后S[i+1..j-1] 为括号内的部分。但这个循环节有两个问题

  1. 这个括号标记的循环节不一定是最短循环节,需要求最短循环节长度记为 len,得到真正的循环节长度
  2. i+1 这个位置不一定是循环节最早出现的位置,需要从后往前枚举不循环小数部分并判断是否为循环节,直至不属于循环节的位置,得到真正的循环节最早出现位置

step3

至此已经有了 ll 类型的整数部分 integerPart,不循环小数部分 nonRepeatingPart 以及其长度 nonrepeat_len,循环节 repeatingPart,以及其长度 len。算法就是前面讲过的小数转分数的算法,有以下细节需要注意:

  • 如果 nonRepeatingPartrepeatingPart 均为零,则直接返回 Fraction(integerPart, 1)
  • 如果 repeatingPart 不为零,则先通过整体右移 len 长度,即乘以 pow(10, len) 再与原数做差的方式去掉循环节。过程中需要按照 nonrepeat_len >= lennonrepeat_len < len 分类讨论。最终得到修正后的 integerPartnonRepeatingPart
    • 如果修正后的 nonRepeatingPart 为零,则直接返回 Fraction(integerPart, 1)
    • 否则返回 Fraction(integerPart * pow(10, nonrepeat_len) + nonRepeatingPart, pow(10, nonrepeat_len))

代码 (C++) (模板:小数转分数)

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using ll = long long;

struct Fraction
{
// 分数 x / y
ll x, y;
Fraction(ll x, ll y):x(x),y(y){}
void reduction()
{
// 约分
int _gcd = gcd<int>(x, y);
x /= _gcd;
y /= _gcd;
}
};

int repetent(const string& S)
{
// 有限长的串上寻找最短循环节
int n = S.size();
for(int i = 1; i * 2 <= n; ++i)
{
if(n % i != 0)
continue;
string p = S.substr(0, i);
bool flag = true;
for(int j = i; j < n; j += i)
{
if(S.substr(j, i) != p)
{
flag = false;
break;
}
if(flag)
return i;
}
}
return n;
}

class Solution {
public:
bool isRationalEqual(string S, string T) {
Fraction fracS = to_frac(S);
Fraction fracT = to_frac(T);
fracS.reduction();
fracT.reduction();
return fracS.x == fracT.x && fracS.y == fracT.y;
}

private:

Fraction to_frac(const string& S)
{
int n = S.size();
int i = 0; // 左括号位置
int dot_idx = -1; // 小数点位置
int nonrepeat_len = 0; // 不循环部分的长度
int len = 0; // 循环节长度

// 解析字符串,得到整数部分、小数不循环部分、小数循环部分
ll integerPart = 0, nonRepeatingPart = 0, repeatingPart = 0;
while(i < n && S[i] != '(')
{
// 整数部分
if(S[i] == '.')
{
dot_idx = i;
stringstream ss;
ss << S.substr(0, dot_idx);
ss >> integerPart;
}
++i;
}
if(dot_idx == -1)
{
// i == n 退出的,没有不循环小数部分
stringstream ss;
ss << S.substr(0, i);
ss >> integerPart;
}
else if(i - dot_idx - 1 > 0)
{
// S[i] == '(' 退出的
// 不循环小数部分
nonrepeat_len = i - dot_idx - 1;
stringstream ss;
ss << S.substr(dot_idx + 1, i - dot_idx - 1);
ss >> nonRepeatingPart;
}

int j = i + 1; // 右括号位置
while(j < n && S[j] != ')')
++j;
if(j < n)
{
len = repetent(S.substr(i + 1, j - i - 1)); // 最短循环节长度
// nonRepeatingPart 中往前找与 p 重合的部分
string p = S.substr(i + 1, len);
string t = S.substr(dot_idx + 1, i - dot_idx - 1);
int idx = t.size() - 1;
int iter = p.size() - 1;
while(idx >= 0 && t[idx] == p[iter])
{
--idx;
iter = (iter - 1 + len) % len;
}
// 重合部分长度,给定的循环节位置不是循环节最早出现的位置,需要调整
int shift = nonrepeat_len - (idx + 1);
nonrepeat_len = idx + 1;
// 调整后的不循环小数部分长度
if(nonrepeat_len == 0)
nonRepeatingPart = 0;
else
{
stringstream ss;
ss << t.substr(0, nonrepeat_len);
ss >> nonRepeatingPart;
}
// 调整后的循环节
shift %= len;
rotate(p.begin(), p.begin() + shift, p.end());
stringstream ss;
ss << p;
ss >> repeatingPart;
}

// 小数转分数算法
if(nonRepeatingPart == 0 && repeatingPart == 0)
return Fraction(integerPart, 1);
if(repeatingPart != 0)
{
// 乘以 pow(10, len) 之后的整数,不循环小数部分,循环节
ll new_integerPart = integerPart;
ll new_repeatingPart = repeatingPart;
ll new_nonRepeatingPart = nonRepeatingPart;

new_integerPart = new_integerPart * pow(10, len);
if(nonrepeat_len >= len)
{
int delta = nonrepeat_len - len;
new_integerPart += new_nonRepeatingPart / (ll)pow(10, delta);
new_nonRepeatingPart %= (ll)pow(10, delta);
new_nonRepeatingPart *= pow(10, len);
new_nonRepeatingPart += new_repeatingPart;
}
else
{
int delta = len - nonrepeat_len;
new_integerPart += new_nonRepeatingPart * (ll)pow(10, delta);
new_integerPart += new_repeatingPart / (ll)pow(10, nonrepeat_len);
new_nonRepeatingPart = new_repeatingPart % (ll)pow(10, nonrepeat_len);
}
// 乘以 pow(10, len) 之后的数与原数相减,整数和不循环小数部分分别做差再加起来
integerPart = new_integerPart - integerPart;
integerPart *= pow(10, nonrepeat_len);
nonRepeatingPart = new_nonRepeatingPart - nonRepeatingPart;
integerPart += nonRepeatingPart;
return Fraction(integerPart, (pow(10, len) - 1) * pow(10, nonrepeat_len));
}
if(nonRepeatingPart == 0)
return Fraction(integerPart, 1);
return Fraction(integerPart * pow(10, nonrepeat_len) + nonRepeatingPart, pow(10, nonrepeat_len));
}
};

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