【Puzzle】较短的一节木棍

摘要: 《概率50题》向正方形投掷硬币

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这是概率面试题连载第 27 期，我们继续看 《Fifty challenging problems in probability with solutions》 中的一道题。

往期的内容整理在这篇文章里；或者看这个 github 仓库。

本题是关于连续型随机变量的，涉及到连续型随机变量的期望，连续型随机变量的函数的概率密度函数。我们来看一下这个题。

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问题

The Little End of the Stick

a. If a stick is broken in two at a random spot, what is the average length of the smaller piece?

b. What is the average ratio of the smaller length to the larger?

一根棍子，随机选个分割点，将棍子分为两根
a. 较小的那一根的长度平均是多少
b. 较小的那一根与较长的那一根的比例，平均是多少

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思路参考

假设木棍长度为 1，分隔点 x 是 (0, 1) 上的均匀分布，也就是 x ~ U(0, 1)，概率密度函数 fx(x) = 1, 0 < x < 1。

记较短的那一根的长度为 y，y 与 x 的关系如下

$$y = g(x) = \left\{ \begin{array}{**lr**} x \quad\quad x \in (0, 1/2) \\ 1 - x \quad\quad x \in (1/2, 1) \\ \end{array} \right.$$

下面我们分别看 (a) 和 (b) 两问

(a)

要求 y 的期望，我们还需要两个知识点，一个是连续型随机变量的期望，一个是连续型随机变量函数的概率密度函数。

知识点复习

(1) 连续型随机变量的期望

$$E(X) = \int^{+\infty}_{-\infty}xf_{X}(x)dx$$

(2) 随机变量函数的概率密度函数

X 的概率密度函数为 fx(x)，Y = g(X)，Y 的概率密度函数是多少。这个问题比较复杂，下面介绍一下通用的流程

• step1: 首先由 X 的范围 Rx 求出 Y 的范围 Ry

• step2: 然后对 Y 的范围中的每一个 y，求出分布函数 Fy(y)

$$F_{Y}(y) = P(Y\leq y) = P(g(X) \leq y) = P(X \in Ry) = \int_{Ry}f_{X}(x)dx$$

其中 $x\in Ry$ 与 $g(X) \leq y$ 是相同的随机事件。$Ry = \{x: g(x) \leq y\}$。

• step3: 对分布函数 Fy(y) 求导得到密度函数 fy(y)。

而如果 g(X) 是严格单调函数，x = h(y) 为相应的反函数，且可导，则 Y = g(X) 的密度函数可以直接给出

$$h = g^{-1} \\ f_{Y}(y) = f_{X}(h(y))|h^{'}(y)| \\$$

计算

有了以上两个知识点，我们就可以开始计算了，下面我们推导 y 的概率密度函数。

g 是一个分段函数，在 (0, 1/2) 上，y = x，单调递增，在 (1/2, 1) 上，y = x，单调递减。因此我们可以对这两个范围分别来看。

(1) 对于 0 < x < 1/2

在 0 < x < 1/2 范围内, y = g(x) = x，因此 0 < y < 1/2，其反函数 x = h(y) = y，导数 h’(y) = 1。y 的密度函数如下

$$\begin{align} f_{Y}(y) &= f_{X}(h(y))|h^{'}(y)| = 1 \end{align}$$

y 的期望如下

$$\begin{align} E(y) &= \int^{+\infty}_{-\infty}yf_{Y}(y)dy \\ &= \int^{\frac{1}{2}}_{0}ydy = \left.\frac{1}{2}y^{2}\right|^{\frac{1}{2}}_{0} = \frac{1}{8} \\ \end{align}$$

(2) 对于 1/2 < x < 1

在 1/2 < x < 1 范围内，y = g(x) = 1 - x，因此 0 < y < 1/2，其反函数 x = h(y) = 1 - y，导数 h’(y) = -1。y 的密度函数如下

$$\begin{align} f_{Y}(y) &= f_{X}(h(y))|h^{'}(y)| = 1 \end{align}$$

y 的期望如下

$$\begin{align} E(y) &= \int^{+\infty}_{-\infty}yf_{Y}(y)dy \\ &= \int^{1}_{\frac{1}{2}}ydy = \left.\frac{1}{2}y^{2}\right|^{\frac{1}{2}}_{0} = \frac{1}{8} \\ \end{align}$$

将两部分加到一起即可得到所求的期望值，答案为 1/4

(b)

要求较小的那一根与较长的那一根的比例的期望，也就是求 y / (1 - y) 的期望。

由 (a)，我们已经知道

$$f_{Y}(y) = 2 \quad\quad y \in (0, 1/2)$$

定义随机变量 Z = Y / (1 - Y)

$$z = g(y) = \frac{y}{1 - y}$$

g(y) 是严格单调的，其反函数为 h(z) = z / (z + 1)，其导数为 $h’(z) = (z + 1)^{-2}$, z 的范围为 (0, 1)，因此 z 的密度函数如下

$$f_{Z}(z) = f_{Y}(h(z))|h^{'}(z)| = 2 \times (z + 1)^{-2}$$

Z 的期望如下

$$\begin{align} E(z) &= \int^{+\infty}_{-\infty}zf_{Z}(z)dz \\ &= \int^{1}_{0}2z \times (z + 1)^{-2}dz \\ &= \int^{2}_{1}\frac{2u - 2}{u^{2}}du \\ &= 2\left.\ln u\right|^{2}_{1} - 2\left.(-u^{-1})\right|^{2}_{1} \\ &= 2\ln 2 - 1 = 0.386294 \end{align}$$

蒙特卡洛模拟

import numpy as np

def pyfunc(x):
    """
    0 < x < 1
    """
    if x > 0.5:
        x = 1 - x
    return x

def pyfunc2(x):
    """
    0 < x < 0.5
    """
    return x / (1 - x)

func = np.frompyfunc(pyfunc, 1, 1)
func2 = np.frompyfunc(pyfunc2, 1, 1)

def test(T):
    X = np.random.uniform(0, 1, T)
    X = func(X)
    Y = func2(X)
    return (np.mean(X), np.mean(Y))

T = int(1e7)
m1, m2 = test(T)
print("较短的木棍的期望长度: {:.6f}".format(m1))
print("较短的木棍与较长的木根长度比值的期望: {:.6f}".format(m2))

模拟结果

较短的木棍的期望长度: 0.249920
较短的木棍与较长的木根长度比值的期望: 0.386187

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